您与老公的哥哥在法律上的关系名词是“姻亲关系”中的“嫂与弟媳”关系。具体来说：

1. 姻亲关系的定义：

   • 姻亲关系是指因婚姻关系而产生的亲属关系。它不同于血亲关系（如父母、子女、兄弟姐妹等基于血缘的关系），而是基于婚姻这一法律行为或事实而形成的社会关系。

2. 您与老公哥哥的具体关系：

   • 在您的案例中，您与老公的哥哥之间并没有直接的血缘关系，而是因为您与老公的婚姻关系而产生了法律上的联系。
   • 根据这种联系，您与老公的哥哥在法律上被称为“姻亲”，具体来说，是“嫂与弟媳”的关系。这种关系在法律上主要涉及到一些家庭伦理、道德规范以及在某些特定情况下的法律义务和责任（如赡养、继承等，但具体需根据法律规定和实际情况判断）。

3. 法律上的相关考量：

   • 在大多数情况下，姻亲关系并不像血亲关系那样具有严格的法律义务和责任。例如，您并没有法律上的义务去赡养老公的哥哥（除非在特定情况下，如老公去世且您有能力并愿意承担这一责任）。
   • 同样地，在继承方面，姻亲关系通常也不是法定的继承顺序中的考虑因素。但是，如果老公的哥哥在遗嘱中指定您为继承人，那么您就有权继承他的遗产。

4. 实际生活中的建议：

   • 尽管姻亲关系在法律上可能没有严格的义务和责任，但在实际生活中，家庭成员之间的和睦相处、互相帮助是非常重要的。
   • 如果您与老公的哥哥之间存在任何矛盾或问题，建议通过沟通、协商等方式解决，以维护家庭和谐。

如果您在处理与老公哥哥或其他家庭成员的关系时遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况和法律规定，为您提供专业、全面的法律建议。