结论：从法律层面讲，老人要求和儿子断绝关系，并不意味着老人就没有抚养或赡养的义务了，具体要看老人和儿子之间的法律关系以及实际情况。下面我会从多个角度详细分析这个问题。
一、法律上的亲子关系与义务
亲子关系的法律性质：
- 亲子关系是基于血缘或法律拟制（如收养）而形成的法律关系，它受到法律的保护，不能随意解除。
抚养与赡养义务：
- 抚养义务：通常指父母对未成年子女的抚养、教育和保护义务。这种义务是法定的，不因父母与子女之间的个人关系变化而消除。
- 赡养义务：则是指子女对年老、患病或丧失劳动能力的父母的赡养、扶助和保护义务。同样，这种义务也是法定的，不因子女与父母之间的个人关系变化而消除。
二、老人要求和儿子断绝关系的法律后果
断绝关系的法律意义：
- 在法律上，亲子关系不能通过简单的“断绝关系”声明来解除。即使老人表达了这样的意愿，从法律角度讲，他们仍然是彼此的法定亲属。
对抚养与赡养义务的影响：
- 老人对儿子的抚养义务：如果儿子是未成年人，老人作为父母，仍然有抚养他的法定义务。这种义务不因老人声称“断绝关系”而消除。
- 儿子对老人的赡养义务：如果老人年老、患病或丧失劳动能力，儿子作为子女，有赡养老人的法定义务。同样，这种义务也不因老人声称“断绝关系”而消除。
三、特殊情况下的考虑
收养关系：
- 如果老人与儿子之间是收养关系，且收养关系已经依法解除，那么他们之间的亲子关系及相应的抚养、赡养义务也将随之消除。但这种情况需要严格的法律程序和证据支持。
恶意遗弃或虐待：
- 如果儿子存在恶意遗弃或虐待老人的行为，老人可以通过法律途径寻求保护，甚至可能解除与儿子的收养关系（如果存在收养关系的话）。但这并不意味着老人就免除了对儿子的抚养义务（如果儿子是未成年人且需要抚养），或者儿子就免除了对老人的赡养义务（如果老人需要赡养且儿子有能力赡养）。不过，在实际情况中，法院可能会根据具体情况对赡养义务的履行方式和程度作出调整。
四、建议与行动
沟通协商：
- 在家庭财产纠纷或亲子关系紧张的情况下，首先建议双方进行沟通协商，尝试找到解决问题的最佳途径。
寻求法律帮助：
- 如果沟通协商无果，或者问题涉及复杂的法律关系和权益保护，建议寻求专业的法律帮助。作为专注于婚姻家庭领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和代理服务。
尊重法律判决：
- 如果问题最终需要通过法律途径解决，请尊重法院的判决结果，并按照判决履行相应的义务。
最后，家庭关系是复杂而敏感的，法律只是提供了一种解决纠纷的框架和规则。在处理家庭财产纠纷或亲子关系问题时，除了法律手段外，还需要考虑情感、道德和社会因素等多方面的因素。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。