结论：欠信用卡5000元在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但并非绝对没有可能。具体是否会被起诉，取决于多种因素，包括逾期时间、催收情况、持卡人的还款意愿等。
一、一般情况下的处理
催收手段：当信用卡欠款发生后，银行通常会首先通过短信、电话等方式进行催收。这是银行追回欠款的首选方式，因为成本较低且效率较高。对于5000元这样相对较小的欠款金额，银行在考虑诉讼成本（包括时间、人力、物力等）后，往往不会轻易选择起诉。
诉讼成本考虑：银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。若起诉所需耗费的人力、物力、时间成本较高，而追回5000元欠款及相关费用的收益相对有限，银行可能会优先选择其他更为经济有效的追讨方式，如加强催收力度、与持卡人协商制定还款计划等。
二、可能被起诉的情况
长期拖欠：如果持卡人经过多次催收后仍然长期拖欠不还，特别是逾期时间超过三个月，银行就拥有了起诉的权利。此时，银行可能会认为持卡人存在恶意拖欠的嫌疑，为了维护自身权益和规范信用卡使用秩序，可能会选择起诉。
拒绝沟通与还款：若持卡人态度恶劣、完全拒绝沟通或毫无还款意愿和行动，银行为了维护自身权益，也可能会选择起诉。在这种情况下，银行可能会认为通过法律途径是追回欠款的唯一有效方式。
催收无果与律师函：在银行多次催款无果，甚至联系不上持卡人的情况下，银行可能会向持卡人寄送律师函。律师函是银行正式起诉前的一种警告方式，如果在规定期限内持卡人仍然不还款，银行就有可能正式起诉持卡人。
三、法律后果
民事债务纠纷：信用卡逾期被起诉属于民事债务纠纷。法院会根据情况调解或判决，要求持卡人偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等费用。如果持卡人拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。这将对持卡人的个人信用记录产生严重不良影响，还可能面临财产损失。
刑事责任风险：虽然单纯的信用卡逾期欠款通常不会涉及刑事责任，但如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并经发卡银行两次催收后超过3个月仍不归还，就可能被认定为恶意透支，涉嫌信用卡诈骗的犯罪行为。此时，银行有权依法追究其刑事责任。不过，对于5000元的欠款金额，这种情况相对较为罕见。
四、建议与应对策略
积极沟通：持卡人应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜，表明自己的还款意愿和计划。通过沟通，持卡人可以了解银行的还款要求和政策，为制定还款方案提供依据。
协商还款方案：如果确实存在还款困难，持卡人可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案。例如，可以与银行协商分期还款、延期还款等安排，以减轻还款压力并避免被起诉。
保持良好信用记录：持卡人应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。良好的信用记录是个人金融生活的重要基础，对于未来的贷款、信用卡申请等都有着重要影响。
总结：欠信用卡5000元虽然金额不大，但持卡人仍需高度重视并尽快处理欠款问题。通过与银行积极沟通和协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如果持卡人确实存在还款困难，建议及时寻求专业法律帮助，以维护自己的合法权益。如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。