结论：无授权在合同上签字后，可以尝试请法定代表人补签，但补签的效力及可行性需根据具体情况分析。

一、补签的效力分析

1. 合同原本有效的情况：

   • 如果合同在签订时虽无授权代表签字，但已满足其他生效条件（如加盖了公司公章，且公章的使用符合公司章程或内部规定），那么合同在签订时即已生效。此时，法定代表人补签更多是对合同的一种确认，而非生效要件。

2. 合同效力待定的情况：

   • 若合同明确规定需授权代表签字才生效，且该授权代表未签字，则合同在签订时处于效力待定状态。在此情况下，如果法定代表人补签，且该补签行为符合公司章程或内部规定，能够代表公司意志，那么合同自补签时起生效。

3. 合同存在效力瑕疵的情况：

   • 对于涉及重大利益或需要特定权限才能签署的合同，如果缺乏授权代表签字，可能导致合同存在效力瑕疵。此时，即使法定代表人补签，也可能需要额外的法律程序或证据来证明补签的合法性和有效性，以消除效力瑕疵。

二、补签的可行性及建议

1. 协商补签：

   • 首先，应与合同相对方友好协商，说明情况并请求法定代表人补签。在协商过程中，可以明确补签的时间、方式等细节，以确保补签的顺利进行。

2. 确认补签权限：

   • 在请求法定代表人补签前，应确认法定代表人是否有权代表公司签署该合同。这通常涉及对公司章程、内部规定或授权文件的审查。如果法定代表人无权签署，那么补签行为可能无效。

3. 留存证据：

   • 在补签过程中，应留存相关证据，如补签协议、邮件、聊天记录等，以证明补签行为的合法性和有效性。这些证据在后续可能的法律纠纷中可能起到关键作用。

4. 考虑法律后果：

   • 在决定是否补签前，应充分考虑补签可能带来的法律后果。如果补签后合同仍然存在效力瑕疵或引发其他法律问题，那么应谨慎考虑是否补签。

三、特殊情况下的处理

1. 如果合同已经实际履行：

   • 如果合同在签订后已经实际履行，且双方对合同内容无异议，那么即使缺乏授权代表签字，合同也可能被视为有效。此时，法定代表人补签更多是对合同的一种确认和追认。

2. 如果涉及表见代理：

   • 如果无权代理人在签订合同时具有足以使相对方相信其有代理权的外观（如表见代理），且相对方在签订合同时是善意的、无过失的，那么该合同可能对被代理人（即公司）产生法律效力。在此情况下，法定代表人补签可能不是必需的，但补签可以进一步确认合同的效力。

总结与建议：无授权在合同上签字后，可以尝试请法定代表人补签，但补签的效力及可行性需根据具体情况分析。在补签前，应确认法定代表人的补签权限、留存相关证据，并充分考虑补签可能带来的法律后果。如果面临复杂的法律问题或不确定如何处理，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供针对性的法律建议和指导。