结论：母亲可以代替子女向作者道歉，但需根据具体情况采取合适的方式，并注意保留道歉的证据。以下从多个角度进行分析：
一、母亲代替子女道歉的合法性
民事行为能力：
- 如果子女是未成年人或限制民事行为能力人，母亲作为法定监护人，有权代表子女处理民事事务，包括向作者道歉。
- 如果子女是成年人且具有完全民事行为能力，母亲通常不能直接代替子女道歉，但可以在子女的授权或同意下进行。
道歉的性质：
- 道歉是一种民事行为，旨在表达歉意和修复关系。在侵权纠纷中，道歉可以作为赔偿的一种形式，但通常不具有法律强制力。
- 母亲代替子女道歉，实质上是代表子女表达歉意，这种行为在道德和伦理上是被接受的，但法律效果取决于子女的民事行为能力和授权情况。
二、母亲代替子女道歉的方式
书面道歉：
- 母亲可以撰写书面道歉信，明确表达歉意，并说明未经允许使用作品的事实和原因。
- 书面道歉信应由母亲签字，并注明是代表子女道歉。如果子女是未成年人或限制民事行为能力人，还可以附上监护关系证明。
口头道歉：
- 母亲可以通过电话、视频或面对面等方式向作者进行口头道歉。
- 口头道歉时，母亲应明确表达歉意，并说明代表子女道歉的身份。如果可能，可以录音或录像作为证据。
第三方见证：
- 为了增加道歉的正式性和可信度，母亲可以邀请第三方（如律师、调解员等）见证道歉过程。
- 第三方见证可以确保道歉的真实性和合法性，并在必要时提供证明。
三、母亲代替子女道歉时需注意的事项
尊重作者意愿：
- 在道歉前，母亲应了解作者的意愿和接受道歉的方式。如果作者不接受口头道歉或要求书面道歉，母亲应尊重作者的选择。
保留证据：
- 无论采用哪种道歉方式，母亲都应保留道歉的证据，如书面道歉信、录音、录像或第三方见证证明等。
- 保留证据有助于在后续纠纷中证明道歉的事实和诚意。
考虑后续赔偿：
- 如果未经允许使用作品给作者造成了损失，母亲在道歉的同时应考虑与作者协商赔偿事宜。
- 赔偿可以包括经济赔偿、停止侵害、消除影响等，具体应根据实际情况和法律规定进行协商。
四、法律后果与风险提示
如果道歉被接受：
- 如果作者接受了母亲的道歉，并表示不再追究责任，那么纠纷可能得到解决。但母亲仍应保留道歉证据，以防作者反悔或提出其他要求。
如果道歉不被接受：
- 如果作者不接受道歉或要求进一步赔偿，母亲应考虑与作者协商或寻求法律途径解决纠纷。
- 在这种情况下，母亲应咨询专业律师，了解子女的法律责任和可能的赔偿范围，以便制定合适的应对策略。
建议：母亲在代替子女向作者道歉时，应充分考虑子女的民事行为能力、作者的意愿和接受道歉的方式，以及保留道歉证据的重要性。如果涉及赔偿事宜或纠纷复杂，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。