结论：您需要按照对方公司要求开具发票，同时需注意确保发票开具的合法性、合规性，并做好相关税务处理。以下是具体说明：

1. 发票开具的必要性：

   • 根据我国税收法律法规，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。您接了私活并收取款项，属于提供服务的经营活动，对方公司要求开具发票是合法合理的，您有义务开具。

2. 发票开具的方式：

   • 如果您有自己的公司或个体工商户：
     • 您可以使用自己公司或个体工商户的税务登记证等相关资料，到税务机关申领发票，然后按照实际提供的服务内容和金额开具发票给对方公司。在开具发票时，要确保发票上的项目、金额等信息准确无误，与实际业务相符。
     • 例如，您提供的是软件开发服务，发票上就应明确写明“软件开发服务费”，并按照协商好的金额开具。
   • 如果您没有自己的公司或个体工商户：
     • 您可以到当地税务机关申请代开发票。需要携带个人身份证明、与对方公司签订的合同（如果有）、付款方出具的书面确认证明（证明业务的发生和金额等）等相关资料，到税务机关办税服务厅办理代开发票手续。
     • 税务机关在审核相关资料后，会为您代开发票，并按照规定征收相应的税款。

3. 税务处理方面：

   • 个人所得税：您取得私活的收入属于劳务报酬所得，需要按照规定缴纳个人所得税。在开具发票时，税务机关可能会根据收入金额代扣代缴个人所得税；如果没有代扣代缴，您需要在次年3月1日至6月30日期间，通过办理个人所得税综合所得年度汇算清缴，自行申报并缴纳税款。
   • 增值税（如果适用）：如果您提供的服务属于增值税应税范围，且达到起征点（按次纳税的，为每次（日）销售额300 - 500元；按期纳税的，为月销售额5000 - 20000元，具体起征点幅度由各省、自治区、直辖市人民政府根据本地区实际情况，在上述幅度内确定），还需要缴纳增值税。一般纳税人可以抵扣进项税额，小规模纳税人则按照简易计税方法计算缴纳增值税。

4. 注意事项：

   • 确保发票的真实性和合法性，不得虚开发票。虚开发票是指为他人、为自己开具与实际经营业务情况不符的发票，让他人为自己开具与实际经营业务情况不符的发票，介绍他人开具与实际经营业务情况不符的发票等行为，这些行为是违法的，会面临税务机关的处罚，包括罚款、没收违法所得，情节严重的还可能构成犯罪。
   • 保留好与私活相关的合同、付款凭证、发票等资料，以备税务机关检查。这些资料是证明您业务真实性和合法性的重要依据，如果丢失或损坏，可能会给您带来不必要的麻烦。

如果您在发票开具或税务处理过程中遇到任何问题，可以直接向我咨询。