结论前置：在公司未签劳动合同且员工自行离职的情况下，员工在一定条件下确实可以要求公司支付赔偿，主要包括双倍工资赔偿及可能的经济补偿。

一、双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司在你入职后一个月内未与你签订劳动合同，从第二个月开始，你有权要求公司支付双倍的工资作为赔偿，直至满一年的前一个月为止（即最多可以主张十一个月的双倍工资）。但请注意，申请双倍工资赔偿是有仲裁时效限制的，一般为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

举例说明：假设你在2023年1月1日入职某公司，但直到2023年12月31日公司仍未与你签订劳动合同。那么，从2023年2月1日至2023年12月31日，你都有权要求公司支付双倍的工资。如果你在2024年1月1日离职，并在2024年12月31日之前申请劳动仲裁，那么你的请求是有效的。

二、经济补偿

虽然一般情况下员工主动离职是没有经济补偿的，但如果因为用人单位存在未签劳动合同等违法行为，导致员工依据《劳动合同法》第三十八条规定解除劳动合同的，员工可以获得经济补偿。具体情形包括：

1. 未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的；
2. 未及时足额支付劳动报酬的；
3. 未依法为劳动者缴纳社会保险费的；
4. 用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的；
5. 其他法律规定的劳动者可以解除劳动合同的情形。

经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

举例说明：如果你在上述公司工作了1年，月工资为5000元，且公司存在未签劳动合同和未缴纳社会保险费的违法行为。那么，你在离职时除了可以要求公司支付双倍工资外，还可以要求公司支付1个月工资（即5000元）作为经济补偿。

三、主张赔偿的注意事项

为了成功主张赔偿，你需要做好以下几点：

1. 收集证据：证明你与公司存在劳动关系以及工作时间等是关键。你应尽可能收集相关证据，如工资支付凭证或记录（工资条、银行转账记录等）、工作证、考勤记录、同事证言、电子邮件往来等。
2. 尝试协商：在离职时，可以尝试与公司进行友好协商，看是否能够就未签订劳动合同的问题达成一致的解决方案。这通常是一种更为高效和低成本的方式。
3. 劳动仲裁或诉讼：如果协商无果，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁是处理劳动争议的前置程序，只有经过仲裁后才能向法院提起诉讼（除非仲裁裁决为终局裁决）。在申请仲裁或提起诉讼时，务必注意在规定的时效内提出。

四、特殊情形处理

1. 超过1年未签合同：自用工满1年起视为已订立无固定期限劳动合同，但仍可主张前11个月的双倍工资差额。
2. 单位拒绝配合：可向劳动监察部门投诉，要求责令整改并处罚款（罚款标准为每人500-2000元）。
3. 自愿离职的影响：主动离职不影响双倍工资差额的主张，但若以“未签合同”为由解除劳动关系，可同时主张经济补偿金（N倍月工资，N为工作年限）。

综上所述，公司未签劳动合同且员工自行离职时，员工有权根据法律规定要求公司支付双倍工资赔偿及可能的经济补偿。但为了维护自己的合法权益，员工需要积极收集证据并采取正确的法律途径来主张赔偿。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。