开设游戏机房赌博的老板被抓后，一般先行拘留的期限是14天，但具体拘留天数会因案件实际情况有所不同，存在多次、流窜、结伙作案等情形时，拘留期限可延长至37天。以下是对此问题的详细分析：

一、一般拘留期限

根据相关法律规定及实践，开设游戏机房赌博属于刑事犯罪，公安机关在抓获犯罪嫌疑人后，一般会先行拘留14天。这是为了给公安机关留出足够的时间进行侦查，收集证据，以判断是否构成犯罪，并决定是否需要提请检察院批准逮捕。

二、延长拘留期限的情形

1. 多次作案：如果犯罪嫌疑人在短时间内多次实施开设赌场等赌博行为，公安机关可能会认为其社会危害性较大，需要更长时间的侦查，因此可能会延长拘留期限。
2. 流窜作案：如果犯罪嫌疑人跨地区实施赌博行为，公安机关在侦查过程中可能会遇到更多的困难和挑战，需要更长时间来收集证据和追查犯罪线索，因此也可能会延长拘留期限。
3. 结伙作案：如果犯罪嫌疑人是与他人结伙实施赌博行为，公安机关需要更长时间来调查团伙成员之间的关系、分工以及犯罪活动的具体情况，因此同样可能会延长拘留期限。

在存在上述情形之一时，拘留期限可延长至37天。这期间，公安机关会继续进行侦查工作，收集证据，并提请检察院审查批准逮捕。

三、后续司法程序

如果检察院批准逮捕，案件会继续侦查，后续还有审查起诉、法院审判等司法程序。在这个过程中，犯罪嫌疑人可能会面临更长时间的羁押。如果检察院不批准逮捕，公安机关会在拘留期限届满时释放被拘留人。

四、法律建议

1. 配合调查：如果您的亲友因开设游戏机房赌博被拘留，建议其积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，争取从轻处理。
2. 申请取保候审：如果符合取保候审条件，如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或者患有严重疾病、生活不能自理等，可以及时向公安机关或检察院申请取保候审。
3. 寻求专业帮助：在整个过程中，建议寻求专业律师的帮助，以了解案件进展情况，维护自身合法权益。

如果您或您的亲友正面临此类问题，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供更详细、更专业的法律建议。