结论：事业单位打架没构成刑事犯罪却开不了无犯罪证明，可能存在多种原因，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：

1. 无犯罪证明的定义与开具条件

   • “无犯罪证明”是指一个人在法律上没有犯罪记录，即没有被法院判定有罪。其开具条件主要基于当事人是否受过刑事处罚。若打架行为未构成犯罪，理论上不应影响开具无犯罪证明。

2. 打架未构成犯罪但可能影响开具无犯罪证明的情形

   • 存在行政处罚记录：虽然打架行为未构成犯罪，但可能违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》，导致受到警告、罚款或行政拘留等行政处罚。在某些地区或特定情况下，这些行政处罚记录可能被视为不良记录，影响无犯罪证明的开具。尽管行政处罚并不等同于刑事犯罪，但相关部门在开具证明时可能会综合考虑个人的整体行为记录。
   • 打架事件被错误记录或处理不当：有时，打架事件可能被错误地记录为刑事案件，或者处理过程中存在不当行为，导致个人被错误地认为有犯罪记录。这种情况下，需要个人通过法律途径进行申诉和纠正，以恢复其无犯罪记录的身份。
   • 事业单位内部规定或政策影响：某些事业单位可能有自己的内部规定或政策，对员工的违法违纪行为有更为严格的处理标准。即使打架行为未构成刑事犯罪，但根据单位内部规定，可能仍被视为严重违纪行为，从而影响无犯罪证明的开具。

3. 建议与措施

   • 核实个人记录：首先，个人应核实自己的犯罪记录情况，包括是否受过刑事处罚、行政处罚等。可以通过向公安机关或相关部门查询个人记录来获取准确信息。
   • 了解开具无犯罪证明的具体要求：不同地区或部门对开具无犯罪证明的具体要求可能有所不同。个人应了解并遵守相关规定，确保自己符合开具条件。
   • 申诉与纠正：如果个人认为自己的无犯罪证明开具受到不公正对待或存在错误记录，可以通过法律途径进行申诉和纠正。可以向相关部门提出异议，并提供证据证明自己的清白。
   • 咨询专业律师：在处理此类问题时，个人可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以根据个人情况提供针对性的解决方案，并协助个人进行申诉和纠正。

总结：事业单位打架没构成刑事犯罪却开不了无犯罪证明，可能是由于存在行政处罚记录、打架事件被错误记录或处理不当、事业单位内部规定或政策影响等原因。个人应核实自己的记录情况，了解开具无犯罪证明的具体要求，并在必要时通过法律途径进行申诉和纠正。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。