死刑立即执行的核准权主要由最高人民法院行使。以下是对这一问题的详细解释：

一、法律依据与核准权分配

1. 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百四十六条明确规定：“死刑由最高人民法院核准。”这一条款直接确立了最高人民法院对死刑立即执行的核准权，体现了我国法律对死刑适用的极端慎重和公正追求。

2. 特殊情况下的核准权下放：虽然一般情况下死刑立即执行的核准权由最高人民法院行使，但在特定历史时期或针对特定类型的严重犯罪，全国人民代表大会常务委员会曾根据需要授权省、自治区、直辖市的高级人民法院行使部分死刑案件的核准权。不过，这种授权是暂时的，且必须严格遵守法律规定的条件和程序。随着司法体制的改革和法治的不断完善，这种授权已逐渐规范和调整，目前死刑立即执行的核准权主要集中在最高人民法院。

二、核准程序

1. 中级人民法院判处死刑的第一审案件：

   • 若被告人不上诉，应当由高级人民法院复核后，再报请最高人民法院核准。
   • 高级人民法院不同意判处死刑的，可以提审或者发回重新审判。

2. 高级人民法院判处死刑的案件：

   • 无论是第一审还是第二审，都应直接报请最高人民法院核准。

3. 最高人民法院的复核审理：

   • 最高人民法院复核死刑案件时，会全面审查案件的事实、证据、适用法律以及诉讼程序等方面。
   • 必要时，最高人民法院还会通过提讯被告人等方式进行核实，以确保死刑判决的准确性和公正性。

4. 作出裁定：

   • 经过复核，如果认为原判认定事实正确，但依法不应当判处死刑的，最高人民法院会裁定不予核准，并撤销原判，发回重新审判。
   • 如果认为原判认定事实不清、证据不足的，也会裁定不予核准，并撤销原判，发回重新审判。
   • 如果认为原判认定事实和适用法律正确、量刑适当、诉讼程序合法的，则会裁定予以核准。

三、法律背景与意义

死刑作为最严厉的刑罚措施，其适用必须极为慎重。我国法律通过明确死刑立即执行案件的核准权限和程序，确保了死刑判决的公正性和准确性。同时，这一制度也体现了国家对生命权的尊重和保护，彰显了我国法律对人权和公正的坚定维护。

四、建议与提醒

如果您或您身边的人涉及死刑案件，务必及时寻求专业律师的帮助，以确保合法权益得到充分保障。作为专业律师，我专注于刑事辩护领域，能够为您提供全面、专业的法律服务。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。