结论：对于网络赌博且赌资金额600元、处于哺乳期的妇女，其处理方式需结合具体情节，可能面临行政处罚，但一般会考虑从轻或减轻处罚，甚至可能不执行处罚；若情节严重，可能涉及刑事犯罪，但哺乳期妇女在刑事责任承担上也有特殊规定。
分析说明：
行政处罚角度：
- 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十条，以营利为目的，为赌博提供条件的，或者参与赌博赌资较大的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节严重的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。
- 情节认定：在此案例中，赌资金额600元，一般不属于“赌资较大”的范畴，但具体还需根据当地的经济水平和司法实践来判断。不过，即便构成赌博行为，由于该妇女处于哺乳期，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十一条，违反治安管理行为人有下列情形之一，依照本法应当给予行政拘留处罚的，不执行行政拘留处罚：……（四）怀孕或者哺乳自己不满一周岁婴儿的。因此，她可能面临行政处罚（如罚款），但一般不会被执行拘留。
刑事犯罪角度：
- 法律依据：如果网络赌博行为构成犯罪，如开设赌场罪或赌博罪，将依据《中华人民共和国刑法》的相关规定进行处罚。
- 情节认定与特殊规定：对于哺乳期妇女，如果构成犯罪，同样会受到刑事处罚，但在执行上会有特殊考虑。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，可以取保候审或者监视居住。在判决时，法院也会考虑其哺乳期的特殊情况，可能判处缓刑或者暂予监外执行。
特殊场景：
- 如果该妇女是初犯，且赌博行为情节轻微，社会危害性不大，结合其哺乳期的特殊情况，公安机关可能会选择对其进行教育、警告，而不给予行政处罚。
- 如果该妇女有多次赌博记录，或者赌博行为对社会造成了较大影响，即使处于哺乳期，也可能面临较重的行政处罚，甚至可能涉及刑事犯罪。
后续行动建议：
- 如果该妇女收到了公安机关的行政处罚决定书或刑事立案通知，建议尽快咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
- 在处理此类案件时，应积极配合公安机关的调查，如实陈述事实，提供相关证据，以争取从轻或减轻处罚。
法律背景：
- 网络赌博不仅违反了治安管理处罚法，还可能涉及刑事犯罪，对社会造成不良影响。因此，我国法律对网络赌博行为有严格的禁止和处罚规定。
- 对于特殊人群（如孕妇、哺乳期妇女），法律在处罚上会有一定的宽容和考虑，但这并不意味着可以逃避法律责任。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况，给出更详细的法律建议。