面对您父亲生病住院需要做手术，而其中一个儿子不出钱的情况，这确实是一个棘手且需要谨慎处理的问题。首先，我想强调的是，赡养父母是每个子女应尽的法律义务和道德责任，这是不容置疑的。针对您当前的情况，我建议您可以采取以下几个步骤来妥善处理：
一、尝试家庭内部协商
组织家庭会议：您可以邀请所有家庭成员，包括不出钱的儿子，一起坐下来进行坦诚的沟通。在会议中，强调赡养父母的重要性，以及当前父亲病情的紧迫性和医疗费用的需求。
理解困难与诉求：尝试理解不出钱儿子的具体想法和困难，也许他有自己的经济压力或其他难言之隐。通过倾听和理解，可以更容易找到共识和解决方案。
制定分担方案：根据家庭成员的经济状况和实际能力，共同制定一个公平、合理的医疗费用分担方案。这个方案应该考虑到每个人的承受能力和贡献度，以确保公平性和可行性。
二、寻求第三方调解
如果家庭内部协商未能达成一致，您可以考虑寻求家族中有威望的长辈、亲戚或当地人民调解委员会的帮助。这些中立的第三方能够更客观地看待问题，提出合理的建议，并促使各方接受并履行赡养义务。
三、考虑法律途径
发送催款函或律师函：在协商无果的情况下，您可以委托专业律师向不出钱的儿子发送催款函或律师函。函件中应明确指出其不履行赡养义务的法律后果，以及要求承担的具体费用。这具有正式性和威慑力，能够促使对方认识到问题的严重性。
提起民事诉讼：如果催款函或律师函仍然无法解决问题，您可以向人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据，如父亲的病历、医疗费用清单等，以证明不出钱儿子未履行赡养义务的事实。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，成年子女不履行赡养义务的，父母有要求成年子女给付赡养费的权利。
四、关注遗嘱或协议
在处理此类问题时，您还需要关注父亲是否留有遗嘱或签订过相关协议。如果存在遗嘱或协议且内容合法有效，那么应按照遗嘱或协议的约定来执行。这有助于避免因财产分配不均而引发的额外矛盾和纠纷。
五、总结与建议
面对这种情况，我建议您首先保持冷静和理性，不要因为情绪激动而做出冲动的决定。同时，注重证据的收集和保存，以便在需要时能够提供有力的支持。在整个处理过程中，您可以考虑咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
最后，我希望您能够尽快解决这个问题，让父亲得到及时的治疗和照顾。家庭和谐与稳定是我们共同追求的目标，希望您能够通过综合运用多种手段来有效解决这个问题。