针对您提出的“肇事司机逃逸后只愿意赔偿一部分，该怎么办”的问题，我的结论是：您可以通过多种途径来维护自己的合法权益，确保获得应有的赔偿。 以下是具体分析和建议：
一、明确赔偿责任主体
逃逸司机：
- 逃逸司机是首要的赔偿责任主体。根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十六条，无论其逃逸行为是否构成犯罪，若机动车参加强制保险，由保险人在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿；若机动车不明、未参加强制保险或抢救费用超出保险限额，由道路交通事故社会救助基金垫付，并有权向交通事故责任人追偿。
- 建议：您应首先尝试与逃逸司机沟通，明确其赔偿意愿和赔偿能力。如果司机只愿意赔偿一部分，您可以要求其出具书面赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式和时间等条款。
车辆所有人或管理人：
- 若车辆所有人或管理人对事故发生存在过错（如将车辆借给无驾驶证者、明知车辆有安全隐患仍出借等），根据《民法典》第一千二百零九条，他们需承担相应的赔偿责任。
- 建议：您可以调查车辆所有人或管理人是否存在过错，如果存在，可以要求其承担相应的赔偿责任。
保险公司：
- 交强险：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十二条，除非驾驶人未取得驾驶资格、醉酒、被盗抢期间肇事或故意制造事故，否则保险公司应在交强险责任限额内赔偿受害人，并有权向致害人追偿。
- 商业险：商业第三者责任险通常将肇事逃逸列为免责条款。若保险公司已就免责条款向投保人履行了提示和明确说明义务，则可拒绝在商业险范围内赔偿。
- 建议：您应及时联系肇事车辆的保险公司，了解保险赔偿情况。如果保险公司拒绝赔偿或赔偿不足，您可以要求保险公司出具书面拒赔通知，并保留进一步追究的权利。
二、赔偿项目及标准
在肇事司机逃逸的情况下，您可获得以下赔偿项目：
人身损害赔偿：
- 包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费、残疾赔偿金、残疾辅助器具费、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等。
- 建议：您应收集相关证据，如医疗费发票、误工证明、护理证明等，以证明您的实际损失。
财产损失赔偿：
- 如果事故导致您的财产受损，如车辆损坏、物品丢失等，您也有权要求赔偿。
- 建议：您应保留财产损失的相关证据，如维修发票、物品购买凭证等。
三、实际操作建议
立即报警并收集证据：
- 事故发生后，您应立即报警并尽可能收集现场证据，包括目击者证言、监控录像等。这些证据将有助于您后续追究肇事司机的责任。
与肇事司机协商：
- 您可以尝试与肇事司机进行协商，明确赔偿金额和支付方式。如果司机只愿意赔偿一部分，您可以要求其出具书面赔偿协议，并保留进一步追究的权利。
- 示例：您可以与司机约定分期付款的方式，并明确每期付款的金额和时间。如果司机未按约定支付，您可以依据协议向法院提起诉讼。
寻求法律援助：
- 如果赔偿问题复杂或遭遇拒赔，您应及时向我咨询，了解自身权益并寻求法律途径解决。我可以帮助您分析案情、制定诉讼策略，并代表您与肇事司机、保险公司等进行协商或诉讼。
考虑调解或诉讼：
- 在必要时，您可以通过相关部门调解或向法院提起诉讼来追讨赔偿。调解是一种快速、经济的解决方式，而诉讼则是一种具有强制力的解决方式。
- 示例：如果肇事司机拒绝赔偿或赔偿不足，您可以向法院提起民事诉讼，要求肇事司机承担赔偿责任。法院将根据事实和法律规定作出判决，并强制执行判决结果。
四、特殊情况处理
如果肇事司机无法找到：
- 如果肇事司机无法找到或无力赔偿，您可以向道路交通事故社会救助基金申请垫付抢救、丧葬等费用。垫付后，救助基金管理机构有权向交通事故责任人追偿。
如果车辆所有人或管理人存在过错：
- 如果车辆所有人或管理人对事故发生存在过错，您可以要求其承担相应的赔偿责任。如果车辆所有人或管理人拒绝赔偿或赔偿不足，您可以向法院提起诉讼要求其承担赔偿责任。
总之，面对肇事司机逃逸后只愿意赔偿一部分的情况，您应保持冷静、收集证据、明确赔偿责任主体、了解赔偿项目及标准，并采取适当的法律措施来维护自己的合法权益。 如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。