结论：膝盖粉碎性骨折未做手术44天，若符合工伤认定条件，是可以申请工伤认定并进而申请劳动能力鉴定和赔偿的。

分析说明：

1. 工伤认定条件：

   • 根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。膝盖粉碎性骨折，若是在工作过程中因工作原因导致的，即符合工伤认定的基本条件。
   • 工伤认定并不以是否进行手术为前提，而是以是否因工作原因受到伤害为判断标准。因此，即使未进行手术，只要符合工伤认定的条件，就可以申请工伤认定。

2. 申请工伤认定的流程：

   • 职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 若用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

3. 劳动能力鉴定与赔偿：

   • 工伤认定后，若职工的伤情影响到劳动能力，可以申请劳动能力鉴定。劳动能力鉴定是确定职工伤残等级和护理依赖程度的重要依据。
   • 根据劳动能力鉴定结果，职工可以享受相应的工伤保险待遇，包括一次性伤残补助金、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。

特殊场景：

• 若膝盖粉碎性骨折并非在工作过程中因工作原因导致，而是由于个人原因或其他非工作原因导致，则不符合工伤认定的条件，无法申请工伤认定和赔偿。
• 若用人单位未依法缴纳工伤保险费，发生工伤事故的，由用人单位支付工伤保险待遇。用人单位不支付的，从工伤保险基金中先行支付，然后由用人单位偿还。

行动建议：

• 建议您尽快收集相关证据，如医疗证明、工作记录等，以证明膝盖粉碎性骨折是在工作过程中因工作原因导致的。
• 然后，按照上述流程向用人单位或社会保险行政部门提出工伤认定申请。
• 若在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。