在遭遇车祸且对方全责的情况下，关于保险公司是否应该垫付医药费，这并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要根据具体情况和保险条款来综合判断。以下是我为您提供的详细解答：
一、交强险的垫付情况
法定垫付情形：
- 根据《机动车交通事故责任强制保险条例》，在特定情况下，如驾驶人未取得驾驶资格、醉酒、被保险机动车被盗抢期间肇事，或被保险人故意制造道路交通事故等，若受害人受伤需要抢救，保险公司有义务在接到公安机关交通管理部门的书面通知和医疗机构出具的抢救费用清单后，在医疗费用赔偿限额内（通常为1.8万元）垫付抢救费用。
非法定垫付情形：
- 对于不属于上述特定情形的普通交通事故，交强险并没有法定的垫付义务。但在实际操作中，如果受害人情况紧急且医疗费用巨大，您可以尝试联系对方车辆的交强险保险公司，提供交通事故责任认定书、伤者诊断证明等相关材料，申请在医疗费用赔偿限额内先行垫付。保险公司会根据具体情况进行审核，并可能决定进行垫付。
二、商业三者险的垫付情况
通常无垫付义务：
- 商业三者险的合同条款中一般并未规定保险公司必须垫付医药费。其赔付通常是在事故责任明确，且伤者完成治疗并提供完整发票和医疗资料后进行。
特殊约定垫付：
- 部分商业三者险合同可能包含“医疗费用先行赔付”等类似条款。如果合同中有此约定且满足条件，保险公司可能会按照约定进行垫付。此外，在某些情况下，经被保险人申请并与保险公司协商，保险公司也可能会考虑提前垫付部分费用，但这取决于保险公司的内部政策和具体协商结果。
三、其他途径
与对方沟通协商：
- 首先，您可以尝试与对方进行友好沟通，了解其不愿意垫付的原因，并尝试达成一致意见。虽然这一步可能无法直接解决问题，但有助于为后续的处理打下良好的基础。
请求交警部门协助：
- 向交警部门报案，并请求他们出具垫付抢救费用通知书，送至对方车辆的保险公司，以促使保险公司垫付抢救费用。
申请道路交通事故社会救助基金：
- 当抢救费用超过交强险责任限额、对方车辆未参加交强险或机动车肇事后逃逸时，您可以申请道路交通事故社会救助基金来垫付部分或全部抢救费用。申请流程一般涉及医疗机构或公安机关交通管理部门向救助基金管理机构提出申请，并提交相关证明材料。
法律途径索赔：
- 如果病情稳定后，与对方就赔偿问题协商不成，您可以向公安机关交通管理部门或人民调解委员会申请调解。若调解无果，还可以向事故发生地或被告住所地的人民法院提起民事诉讼，提交相关证据支持诉讼请求。法院判决后，如果对方仍拒不履行赔偿义务，您可以申请强制执行。
四、操作建议
- 在处理此类问题时，我建议您及时咨询专业律师或相关机构以获取准确的法律建议和帮助。
- 了解保险合同的具体内容，特别是关于医疗费用垫付的约定，以便在需要时能够准确引用。
- 与对方及其保险公司进行积极沟通，尝试达成垫付协议，以缓解您的经济压力。
- 如果符合条件，及时申请道路交通事故社会救助基金以获取必要的帮助。
综上所述，虽然保险公司通常没有法定的义务提前垫付医药费，但在特定情况下或根据保险合同的特别约定，保险公司可能会垫付部分或全部医疗费用。同时，您也可以通过其他途径来寻求帮助和赔偿。希望这些信息能够对您有所帮助。