结论：在母亲被车撞后选择私了的情况下，子女不签字，父亲是否可以签字，这主要取决于母亲是否具有完全民事行为能力以及私了协议的具体内容。以下从不同角度进行分析：

1. 母亲具有完全民事行为能力的情况：

   • 如果母亲在事故发生时具有完全民事行为能力，即能够清晰地表达自己的意愿，理解私了协议的内容及其法律后果，那么她有权自主决定是否私了，并签署相关协议。
   • 在这种情况下，子女不签字并不影响母亲行使自己的权利。父亲作为配偶，虽然可能关心母亲的权益，但同样没有法律上的权利代替母亲签署协议，除非母亲明确授权父亲代为处理。

2. 母亲不具有完全民事行为能力的情况：

   • 如果母亲因事故导致受伤严重，无法清晰地表达自己的意愿或理解协议内容，那么她可能被视为不具有完全民事行为能力。
   • 在这种情况下，根据《民法典》的相关规定，需要由她的法定代理人（通常是配偶、子女或父母等近亲属）代为行使权利。如果父亲是母亲的法定代理人之一，且其他法定代理人（如子女）不反对或无法表达意见，父亲可以在符合母亲最大利益的前提下签署私了协议。
   • 但如果子女作为法定代理人之一明确表示反对私了，或者存在其他法定代理人之间的争议，那么父亲就不能单方面签署协议。此时，可能需要通过法律程序（如申请宣告母亲为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，并指定法定代理人）来解决争议。

3. 私了协议的具体内容：

   • 无论母亲是否具有完全民事行为能力，私了协议的内容都必须合法、合理且明确。协议应详细列明事故经过、责任划分、赔偿项目及金额等关键信息，并由双方签字确认。
   • 如果协议内容存在模糊不清、显失公平或违反法律法规的情况，那么即使父亲签署了协议，该协议也可能被认定为无效或可撤销。

法律建议：

• 在处理此类事故时，建议首先确保母亲的安全和健康，及时送医治疗。
• 如果考虑私了，应确保母亲具有完全民事行为能力，并充分理解协议内容及其法律后果。如果母亲不具有完全民事行为能力，应寻求其他法定代理人的同意或通过法律程序解决争议。
• 签署私了协议前，建议咨询专业律师的意见，以确保协议的合法性和有效性。
• 如果对事故责任或赔偿金额存在争议，可以考虑通过法律途径解决，如向交警部门报案、申请调解或提起诉讼等。

可能法律后果：

• 如果父亲在未经其他法定代理人同意或未遵循法律程序的情况下签署私了协议，可能会面临协议被认定为无效或可撤销的风险。
• 如果私了协议内容存在违法或显失公平的情况，受损方有权向法院提起诉讼，要求撤销或变更协议内容。

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