结论：
- 打架拒留（若指打架后被拘留）是否构成刑事案件，取决于打架行为的性质和后果。若仅为轻微治安事件，通常不构成刑事案件；若造成严重后果，如轻伤或重伤，则可能构成刑事案件。
- 打架行为若构成刑事案件，确实可能对当兵产生影响，具体影响需根据案件性质、处理结果及军队的征兵政策综合判断。
详细分析：
一、打架拒留是否构成刑事案件
治安案件与刑事案件的区分：
- 打架行为若未造成严重后果，如仅导致轻微伤或未造成伤害，通常被视为治安案件，由公安机关根据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处罚，如警告、罚款、拘留等。
- 若打架行为导致轻伤或重伤，则可能构成刑事案件，依据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如故意伤害罪，进行刑事追究。
拘留的性质：
- 拘留在此上下文中可能指行政拘留或刑事拘留。行政拘留是针对治安案件的处罚措施，而刑事拘留是刑事诉讼中的强制措施，用于确保犯罪嫌疑人接受审判。
- 若打架后被行政拘留，通常意味着行为未构成刑事案件；若被刑事拘留，则可能意味着行为已涉嫌犯罪。
二、打架行为对当兵的影响
征兵政策的要求：
- 军队征兵时，对候选人的政治素质、道德品质、身体条件等均有严格要求。有犯罪记录或涉及刑事案件的候选人，通常不符合征兵条件。
具体影响分析：
- 若打架行为构成刑事案件：候选人可能因犯罪记录而被拒绝入伍。即使案件最终未导致定罪，但只要涉及刑事诉讼，都可能对征兵产生不利影响。
- 若打架行为仅为治安案件：虽然通常不会直接导致拒绝入伍，但若行为性质恶劣，如多次打架斗殴、造成不良社会影响等，也可能影响征兵结果。
应对建议：
- 若已涉及打架行为，无论是否构成刑事案件，都应积极配合相关部门调查，如实陈述事实，争取从轻处理。
- 若担心打架行为对当兵产生影响，可提前咨询当地征兵办公室或军队相关部门，了解具体政策要求，以便做好准备。
三、特殊情况说明
- 未成年人打架：若打架行为涉及未成年人，且情节轻微，可能依据《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》进行处理，重点在于教育、挽救，而非惩罚。但即便如此，若行为性质恶劣，仍可能对未来当兵产生影响。
- 自首与立功：若打架行为已构成刑事案件，但嫌疑人自首或立功，可能依法从轻或减轻处罚。这在一定程度上可能减轻对当兵的不利影响，但具体仍需根据案件情况和征兵政策综合判断。
总结与建议：
打架行为是否构成刑事案件，取决于行为的性质和后果。若构成刑事案件，确实可能对当兵产生影响。因此，建议遵守法律法规，避免参与打架斗殴等违法行为。若已涉及此类行为，应积极配合调查，争取从轻处理，并提前了解征兵政策，做好应对准备。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。