结论：和一家信用卡协商成功后，若严格履行协议，通常不会被该银行起诉，但这并不绝对排除被其他银行起诉的可能性，具体取决于是否与其他银行存在债务纠纷及是否履行相关协议。以下是对这一问题的详细分析：
一、与协商银行的关系
协议达成与正常履约：
- 当您与某家银行就信用卡债务问题达成协商还款协议，并且能够严格按照协议中的还款方案如期履行还款责任时，该银行通常会认可您的还款诚意和实际行动，不再采取起诉等法律手段来追讨欠款。因为此时银行的主要目的——收回欠款——已经通过协商得到了实现。
仍可能起诉的情况：
- 违约：如果您在协商还款期间未能按照协议履行还款义务，如逾期还款、未足额还款等，就构成了违约。银行可能会因此认为您缺乏还款诚意或不具备还款能力，从而重新启动起诉程序。
- 欺诈行为：即使协商成功，如果银行在后续发现您在申请信用卡或协商过程中存在欺诈行为，如提供虚假的个人信息、财务状况等，银行也有权选择起诉您，追究其法律责任。
- 银行内部政策或外部因素影响：虽然较少见，但银行的内部政策可能会发生变化，或者受到金融监管要求、经营策略调整等外部因素的影响。这些变化可能导致银行对部分信用卡欠款进行集中清理，即使您正常履行了协商还款协议，也可能面临被起诉的风险。
二、与其他银行的关系
独立债务关系：
- 您与其他银行之间的信用卡债务关系是独立的。即使您与某家银行达成了协商还款协议，这并不影响您与其他银行之间的债务关系。如果您与其他银行也存在信用卡债务纠纷，且未达成协商还款协议或未履行协议，那么其他银行仍然有权采取法律手段追讨欠款，包括起诉。
信用记录影响：
- 需要注意的是，您的信用记录是共享的。如果您在一家银行的信用卡债务出现违约或欺诈行为，这可能会影响您的信用记录，进而影响您在其他银行申请信用卡或贷款的能力。在极端情况下，其他银行可能会因为您的信用记录不佳而选择起诉您。
三、持卡人应注意事项
严格履行协议：
- 这是避免被起诉的关键。您必须严格按照协商的还款计划进行还款，确保按时足额还款。
保留证据：
- 在协商过程中以及后续的还款过程中，您应妥善保留所有相关的文件和记录。这些证据在日后可能出现的任何纠纷中都至关重要。
持续关注账户状态：
- 您应定期检查自己的信用卡账户状态，确保没有出现任何异常或错误。如发现任何问题，应及时与银行联系并解决。
了解法律责任：
- 您应清楚了解自己的法律责任。如果因某些原因无法履行协议，应尽快与银行沟通并寻求解决方案，以避免可能的法律后果。
总结与建议：和一家信用卡协商成功后，您仍需保持警惕并妥善处理相关事宜。确保严格履行与该银行的协商还款协议，同时关注与其他银行之间的债务关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。