针对您提出的“运输合同纠纷向何部门投诉及法律依据”的问题，以下是我的详细解答：

一、投诉部门选择

1. 交通运输管理部门

   • 适用情况：若运输合同纠纷涉及运输资质、违规操作（如超载、未经许可从事货运经营）、服务质量（如不合理绕路、未按约定时间送达）等问题，应向当地交通运输局或运输管理处反映情况。
   • 投诉途径：不同地区交通运输管理部门的联系方式和投诉流程可能有所不同，建议通过当地政府网站查询具体信息，或直接前往当地交通运输管理部门进行投诉。

2. 邮政管理部门

   • 适用情况：若涉及快递业务纠纷，如快递丢失、损坏、长时间未投递等，可拨打12305邮政业消费者申诉专用电话或登录国家邮政局申诉网站进行投诉。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国邮政法》的相关规定，邮政管理部门负责监管快递业务，对违规行为进行调查和处理。

3. 消费者协会

   • 适用情况：当运输服务侵犯消费者权益时，如遭遇不合理收费、欺诈等行为，可拨打12315向消费者协会投诉，请求调解。
   • 法律依据：依据《中华人民共和国消费者权益保护法》，消费者协会具有调解消费者与经营者之间争议的职能。

4. 市场监督管理部门

   • 适用情况：若运输企业存在不正当竞争、虚假宣传、价格违法等行为，可通过12315热线或到当地市场监督管理所投诉。
   • 法律依据：市场监督管理部门负责监管市场秩序，对违法行为进行查处，包括运输企业的市场行为。

二、法律依据

1. 《中华人民共和国邮政法》

   • 第六十七条：邮政企业提供邮政普遍服务不符合邮政普遍服务标准的，由邮政管理部门责令改正，可以处一万元以下的罚款；情节严重的，处一万元以上五万元以下的罚款；对直接负责的主管人员和其他直接责任人员给予处分。此条款适用于快递业务纠纷的投诉和处理。

2. 《中华人民共和国消费者权益保护法》

   • 第三十九条：消费者和经营者发生消费者权益争议的，可以通过下列途径解决：（一）与经营者协商和解；（二）请求消费者协会或者依法成立的其他调解组织调解；（三）向有关行政部门投诉；（四）根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁；（五）向人民法院提起诉讼。此条款为消费者在运输合同纠纷中寻求救济提供了法律依据。

三、综合建议

1. 明确投诉内容：在投诉前，应明确纠纷的具体内容和性质，以便选择合适的投诉部门和途径。
2. 保留相关证据：如运输合同、货物交接清单、货物损坏照片、沟通记录等，这些证据在后续处理纠纷时将起到关键作用。
3. 持续沟通：在投诉过程中，应保持与投诉部门的持续沟通，及时提供补充材料，以便尽快解决问题。
4. 考虑法律途径：若投诉无法解决问题，且纠纷涉及较大利益或复杂法律关系，可考虑通过仲裁或诉讼等法律途径解决。

希望以上解答能对您有所帮助。如果您在运输合同纠纷处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。