运输合同费用纠纷通常可向交通运输管理部门或市场监督管理部门投诉，具体取决于纠纷性质。以下是详细分析：
一、交通运输管理部门
管辖范围：
- 涉及公路、铁路、航空、水路等运输环节的运输合同费用纠纷，如运费计算错误、运输延误导致的费用争议等，通常由交通运输管理部门负责处理。
职责与处理方式：
- 交通运输管理部门会依据相关运输法规（如《中华人民共和国道路运输条例》等）对运输企业的运营行为进行监管，确保运输过程符合规定。
- 对于因运输问题导致的费用纠纷，交通运输管理部门会进行调查，并根据调查结果协调双方解决纠纷，必要时可对运输企业进行处罚。
投诉渠道：
- 当事人可向当地交通运输局或相关运输管理机构（如铁路局、民航局等）投诉，具体投诉方式可通过官方网站或电话查询。
二、市场监督管理部门
管辖范围：
- 若运输合同费用纠纷涉及价格欺诈、虚假宣传等市场监管问题，如运输企业乱收费、未明码标价等，则应由市场监督管理部门负责处理。
职责与处理方式：
- 市场监督管理部门会依据《中华人民共和国价格法》、《中华人民共和国反不正当竞争法》等法律法规对物流公司的经营行为进行监督和管理，查处违规行为。
- 对于涉及价格欺诈的费用纠纷，市场监督管理部门会进行调查，并根据调查结果要求运输企业退还多收费用、赔偿损失等。
投诉渠道：
- 当事人可向当地市场监督管理局投诉，具体投诉方式可通过官方网站或“12315”消费者投诉举报专线电话进行。
三、其他解决途径
除了向行政主管部门投诉外，当事人还可考虑以下解决途径：
自行协商：
- 双方当事人应首先尝试通过直接沟通来化解纠纷，这种方式成本最低、效率最高，且有助于维护双方的合作关系。
申请调解：
- 当事人可向人民调解委员会、行业协会或消费者协会等组织申请调解，这些组织会依据法律、法规或行业规范进行调解，促使双方达成和解协议。
申请仲裁：
- 若运输合同中约定了仲裁条款，当事人可将纠纷提交给约定的仲裁机构进行仲裁。仲裁具有专业性、保密性、快捷性等特点，且仲裁裁决具有法律效力。
提起诉讼：
- 若协商、调解、投诉、仲裁等方式均无法解决纠纷，当事人可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。法院将按照法定程序审理案件，并依法作出判决。
四、综合建议
保留证据：
- 当事人在处理运输合同费用纠纷时，应保留好相关证据材料，如运输合同、运费发票、运输记录等，以便在后续程序中维护自己的合法权益。
选择合适途径：
- 当事人应根据纠纷性质和合同约定选择合适的解决途径。若纠纷涉及行政监管问题，可向相关行政主管部门投诉；若纠纷涉及合同履行问题，可考虑申请仲裁或提起诉讼。
咨询专业律师：
- 在处理复杂的运输合同费用纠纷时，当事人可咨询专业律师以获取法律意见和支持，确保自身权益得到充分保障。不过，既然你已向我咨询，后续有任何疑问，可直接向我提问。