结论：员工因个人责任导致客户起诉索赔时，公司承担的责任取决于具体情况，包括员工行为是否属于职务行为、公司是否存在过错以及双方是否有相关约定等。以下从不同角度进行分析：
一、员工行为属于职务行为时
公司可能承担全部责任：
- 法律依据：根据《民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。”
- 分析：如果员工在执行工作任务过程中因个人责任导致客户损失，且该行为属于职务行为范畴，那么公司通常需要承担全部赔偿责任。之后，公司可以根据内部规定或劳动合同约定，向有故意或重大过失的员工追偿。
公司承担部分责任：
- 特殊情况：在某些特殊情况下，即使员工行为属于职务行为，公司也可能只承担部分责任。例如，如果客户也存在一定过错，或者员工行为超出了职务范围但公司未能及时制止等。
- 分析：这种情况下，公司承担的责任比例会根据双方过错程度、因果关系等因素进行综合判断。
二、员工行为不属于职务行为时
公司不承担责任：
- 法律依据：如果员工行为不属于职务行为，而是个人行为，且该行为与工作无关，那么公司通常不需要承担赔偿责任。
- 分析：例如，员工在下班后私自以公司名义与客户签订合同并导致损失，这种情况下公司无需承担责任，损失应由员工个人承担。
公司可能承担连带责任（特殊情况）：
- 特殊情况：在某些特殊情况下，即使员工行为不属于职务行为，公司也可能因管理不善、未尽到安全保障义务等原因承担连带责任。
- 分析：例如，公司明知员工存在不良行为记录但仍未采取相应措施，导致员工再次实施类似行为并造成客户损失，这种情况下公司可能需要承担一定的连带责任。
三、双方有相关约定时
- 按照约定处理：
- 分析：如果公司与员工在劳动合同或内部规章制度中明确约定了因员工个人责任导致客户索赔时的责任承担方式，那么应按照约定处理。
- 示例：例如，双方约定员工因故意或重大过失导致客户损失时，公司承担赔偿责任后有权向员工全额追偿；或者约定公司只承担一定比例的责任等。
法律建议
- 完善内部规章制度：公司应制定完善的内部规章制度，明确员工在执行工作任务过程中的行为规范和责任承担方式，以减少类似纠纷的发生。
- 加强员工培训和管理：公司应加强对员工的培训和管理，提高员工的法律意识和职业素养，避免员工因个人责任导致客户损失。
- 及时咨询专业律师：在发生类似纠纷时，公司应及时咨询专业律师，了解自身权利和义务，制定合理的应对策略。
后续行动建议：如果您或您的公司面临类似纠纷，建议收集相关证据材料（如劳动合同、内部规章制度、员工行为记录、客户索赔材料等），并直接向我咨询具体法律意见。我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和解决方案。