业务员在此情况下可能承担的责任需分情况讨论，主要取决于是否因未督促行为导致客户发生实际损失，以及业务员与所在机构之间的法律关系。具体分析如下：

1. 若客户因未投保交强险发生事故导致损失，业务员可能因过错承担补充赔偿责任
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二条，交强险是法定强制保险，未投保的机动车不得上路行驶。若业务员明知客户未投保交强险，却未履行提醒义务，导致客户因事故无法获得交强险赔付（如医疗费、财产损失等），客户可主张业务员存在过错。此时需结合以下因素判断责任比例：

   • 业务员是否以书面或明确方式提醒过客户投保交强险；
     
   • 客户是否因业务员未提醒而直接导致损失扩大（如未及时补保）；
     
   • 业务员所在机构是否对业务员有明确培训或管理要求（如内部规定需督促客户投保交强险）。
     若构成过错，业务员可能需在客户实际损失范围内承担部分补充责任，但通常以不超过客户损失的30%为限（需结合具体案情）。

2. 若业务员与机构存在劳动关系，机构可能承担连带责任
   根据《民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。若业务员的行为属于职务行为（如受机构委托推销商业险），且机构未对业务员进行交强险投保义务的培训或监督，客户可同时起诉机构和业务员，要求机构承担主要赔偿责任，业务员承担次要责任。
   但若机构能证明已尽到管理义务（如提供培训记录、书面提醒流程等），则可能免除或减轻机构责任，由业务员独立承担责任。

3. 若客户未发生实际损失，业务员通常不承担法律责任
   若客户虽未投保交强险，但未发生交通事故或未因未投保产生其他损失（如被交警处罚），则业务员的行为未直接导致客户权益受损，客户无权主张赔偿。但业务员可能面临所在机构的内部处罚（如扣减绩效、警告等），这属于内部管理范畴，不涉及对外法律责任。

建议：

• 对业务员：立即书面提醒客户补保交强险，并留存提醒记录（如微信、邮件）；若客户拒绝，可向机构报告并留存报告记录，以降低自身风险。
  
• 对客户：若因未投保交强险发生损失，可先向业务员所在机构主张赔偿，同时收集业务员未提醒的证据（如聊天记录、录音等）；若机构拒绝，可起诉机构及业务员，要求按过错比例赔偿。
  

如有进一步细节（如业务员是否收取客户费用、机构是否有明确规定等），可向我补充说明，我会结合具体情形为您细化分析。