行政机关在行政诉讼中败诉后，相关责任人的处理需根据具体情形，结合法律规定及内部管理规范进行，通常包括以下处理方式：

1. 行政处分
   根据《行政机关公务员处分条例》及《中华人民共和国公职人员政务处分法》，若败诉因相关责任人存在违法或不当行为（如滥用职权、玩忽职守、程序违法等），行政机关可对其给予警告、记过、记大过、降级、撤职或开除等处分。例如，若因执法人员未依法取证导致证据不足败诉，可能被认定为“玩忽职守”而受处分。

2. 内部追责程序
   行政机关通常需启动内部调查，明确责任主体及过错程度。例如，通过行政复议委员会或监察部门审查执法过程，形成书面责任认定报告，作为处分依据。若责任人涉及领导岗位，还可能触发领导责任追究机制。

3. 绩效考核与职务调整
   败诉结果可能影响责任人年度考核评分，甚至导致职务降级、调离执法岗位等。例如，某地市场监管局因执法程序违法败诉后，对涉事执法队长予以免职并调离一线岗位。

4. 刑事责任追究（极端情形）
   若败诉原因涉及犯罪（如受贿、徇私枉法等），依法移送司法机关处理。例如，某环保局工作人员因收受企业贿赂伪造检测数据导致败诉，最终被以受贿罪追究刑事责任。

5. 赔偿义务连带（特定情形）
   根据《国家赔偿法》，若责任人故意或重大过失导致国家赔偿，行政机关可向其追偿部分或全部赔偿费用。例如，某城管局因违法强拆败诉后，向涉事执法人员追偿了30%的赔偿款。

实务建议：

• 行政机关应完善执法记录制度，降低败诉风险；
  
• 败诉后需及时分析原因，区分个人过错与制度缺陷，避免“一刀切”追责；
  
• 责任人若认为处分不当，可依法申请复核或申诉。
  

如需进一步分析具体案件中的责任划分或追责程序，可直接向我咨询。