结论前置：脸部被多处抓伤流血，在符合一定条件下，是可以追究相关责任人的法律责任的。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、法律责任的基础
首先，从法律角度来看，脸部被抓伤流血可能涉及到人身伤害和侵权责任的问题。根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。这意味着，如果抓伤您脸部的人存在过错（如故意或过失），并且这种过错导致了您的伤害，那么您有权要求其承担相应的法律责任。
二、责任追究的具体条件
过错的存在：
- 您需要证明抓伤您脸部的人存在过错，无论是故意还是过失。故意通常指的是行为人明知自己的行为会造成损害结果，而希望或放任这种结果的发生；过失则指的是行为人应当预见自己的行为可能造成损害结果，但因为疏忽大意而没有预见，或者虽然预见但轻信能够避免。
损害结果的发生：
- 您需要证明脸部被抓伤流血这一损害结果确实发生，并且这种损害结果与行为人的过错之间存在因果关系。即，是因为行为人的过错行为才导致了您的伤害。
证据的收集：
- 在追究责任的过程中，证据的收集至关重要。您可能需要提供医疗记录、照片、视频、证人证言等证据来证明上述过错和损害结果的存在。
三、可能承担的法律责任
民事赔偿：
- 如果行为人被认定存在过错并造成了您的损害，那么您有权要求其承担民事赔偿责任。这包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成了残疾，还可以要求赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
行政处罚或刑事责任：
- 在某些情况下，如果行为人的行为构成了违反治安管理处罚法的行为（如故意伤害他人身体但情节较轻），可能会受到行政处罚，如罚款、拘留等。如果行为人的行为构成了犯罪（如故意伤害罪），则可能会受到刑事处罚，如有期徒刑、拘役等。
四、建议与行动
及时就医并保留证据：
- 首先，您应该及时就医治疗，并保留好所有的医疗记录和相关费用单据。同时，尽可能收集其他证据，如现场照片、视频、证人证言等。
报警处理：
- 如果情况严重或行为人拒绝承担责任，您可以向当地公安机关报案。公安机关会进行调查，并根据情况决定是否立案处理。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，咨询专业律师是非常重要的。律师可以根据您的具体情况提供法律建议，帮助您制定合适的维权策略，并代表您与行为人或其保险公司进行协商或诉讼。
最后，脸部被多处抓伤流血确实是一个令人不快且可能带来严重后果的事件。在符合一定条件下，您是有权追究相关责任人的法律责任的。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。