拖欠农民工工资问题，主要由以下几个部门负责管理和处理，农民工可根据具体情况选择合适的途径进行维权：

1. 劳动行政部门（劳动监察大队）

   • 主要职责：劳动监察大队是负责监督用人单位遵守劳动保障法律法规的专门机构，有权检查用人单位的工资支付情况，并对拖欠工资的行为进行查处。
   • 处理方式：农民工可以通过拨打12333投诉举报电话或直接前往当地劳动保障监察机构进行投诉。接到投诉后，监察部门会进行调查核实，若属实，将责令用人单位限期支付工资，并可能加付赔偿金。
   • 优势：处理程序相对简便，能较快介入调查，是农民工首选的维权途径。

2. 人力资源和社会保障部门

   • 主要职责：该部门负责农民工工资支付工作的组织协调、管理指导和监督检查，统筹协调解决拖欠农民工工资问题，制定相关政策措施，并对重大拖欠案件进行督办。
   • 处理方式：农民工可通过拨打12333咨询服务热线或登录官方网站进行投诉举报，提供清晰准确的个人信息、用人单位信息及拖欠工资情况，相关部门将根据情况进行转办或直接调查处理。

3. 建设行政主管部门（针对建设工程领域）

   • 主要职责：在建筑领域，建设行政主管部门负责监管工程项目，并有权采取措施解决因工程施工导致的工资拖欠问题。特别是当农民工在建筑工程项目中遭遇工资拖欠，且与建设单位资金拨付、施工企业转包分包等有关时，可向此部门反映。
   • 处理方式：农民工可前往当地住房和城乡建设局等相关部门的办事窗口投诉，或通过其官方网站投诉举报。建设部门将调查核实并协调解决工资拖欠问题。

4. 劳动争议仲裁委员会

   • 主要职责：对于农民工与用人单位之间的工资争议，劳动争议仲裁委员会可以进行仲裁。仲裁裁决具有法律效力。
   • 处理方式：农民工需在一年内（从知道或应当知道权利被侵害之日起计算）向劳动合同履行地或用人单位所在地的仲裁委员会提出申请。仲裁过程包括开庭、调查、辩论等，最终作出裁决。不服裁决者可在规定期限内向法院提起诉讼。

5. 人民法院

   • 主要职责：如果其他途径无法解决工资拖欠问题，农民工可以向人民法院提起诉讼。法院将对案件进行审理并作出判决。
   • 处理方式：农民工需准备好相关证据材料，如劳动合同、工资欠条、考勤记录等，向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。若用人单位不履行判决，可申请强制执行。若已经拿到工资欠条，农民工还可以直接向法院起诉或申请支付令，要求用人单位支付工资。

建议与提醒：

• 在维权过程中，农民工应积极收集和保留相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明与用人单位存在劳动关系以及工资拖欠的事实。
• 根据具体情况选择合适的部门进行投诉或申请，可以同时向多个部门反映问题，以加快问题的解决进程。
• 若遇到复杂或难以解决的问题，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供更专业的法律指导和帮助。

综上所述，农民工在遇到工资拖欠问题时，应充分利用上述途径和资源，积极维护自身合法权益。