结论：执行逮捕后，公安提审当事人时，当事人不签字是可以的，但这并不影响逮捕的合法性与有效性，且可能对后续法律程序产生不利影响。

详细分析：

1. 逮捕的合法性与签字无关：

   • 根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百四十四条，执行逮捕时，侦查人员必须出示逮捕证，并责令被逮捕人在逮捕证上签名、捺指印。若犯罪嫌疑人拒绝签名、捺指印，侦查人员应当注明该情况。这表明，逮捕行为的合法性并不依赖于犯罪嫌疑人的签字，而是基于有证据证明其有犯罪事实及可能判处徒刑以上刑罚的必要性。
   • 逮捕证一经公安机关负责人签发即生效，并不需要被逮捕人本人签字确认。即使被逮捕人拒绝在逮捕证上签名或捺指印，也不影响逮捕程序的执行和逮捕证的法律效力。

2. 提审过程中的签字要求：

   • 在提审过程中，公安机关会制作讯问笔录，记录犯罪嫌疑人的供述和辩解。讯问笔录应当交犯罪嫌疑人核对，确保其内容的准确性和完整性。如果记载有遗漏或者差错，犯罪嫌疑人可以提出补充或者改正。在确认无误后，犯罪嫌疑人应当签名或者盖章，同时侦查人员也需在笔录上签名，以证明讯问的合法性和笔录的真实性。
   • 若犯罪嫌疑人拒绝在讯问笔录上签字，侦查人员同样会注明这一情况。但这并不意味着讯问笔录无效，只要讯问过程合法，笔录内容真实，仍然可以作为证据使用。

3. 拒绝签字可能带来的法律后果：

   • 拒绝签字往往被视为认罪态度不好的表现，可能影响法官对犯罪嫌疑人的主观恶性、悔罪态度等方面的评价。在量刑时，法官可能会考虑这一因素，对犯罪嫌疑人从重处罚。
   • 此外，拒绝签字还可能影响犯罪嫌疑人在后续法律程序中的权益保障。例如，在申请取保候审、减刑假释等程序中，认罪态度是一个重要的考量因素。

法律建议：

• 保持冷静与配合：面对逮捕和提审，犯罪嫌疑人应保持冷静，配合执法程序。拒绝签字并不能改变逮捕的合法性和有效性，反而可能带来不必要的法律风险和负面影响。
• 了解法律程序与权益：犯罪嫌疑人应了解自己的法律程序和权益，包括在提审过程中的权利和义务。如有疑问或需要帮助，应及时向律师咨询。
• 积极寻求法律援助：在面临逮捕和提审时，犯罪嫌疑人应积极寻求法律援助，以便更好地维护自己的合法权益。律师可以提供专业的法律咨询和辩护服务，帮助犯罪嫌疑人应对法律挑战。

总之，执行逮捕后公安提审当事人时，当事人不签字是可以的，但这并不影响逮捕的合法性与有效性。从法律策略和自身权益保护的角度出发，建议犯罪嫌疑人在面对逮捕和提审时保持冷静、配合执法程序，并积极寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。