在处理“汽车正常变道后面摩托车急刹车摔倒”这一事故责任划分问题时，我们需要综合考量多个因素，并依据相关法律法规进行细致分析。以下是对此问题的详细解答：
一、责任判定核心原则
过错责任原则：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，机动车发生交通事故造成损害的，由有过错的一方承担赔偿责任。因此，判断汽车变道及刹车行为是否存在过错是关键。若汽车因正常行驶需要而合理变道并刹车，且符合交通法规，则通常不承担责任。反之，若汽车存在违规变道、无故急刹车等行为，则可能需承担一定责任。
安全距离原则：
- 摩托车驾驶员在行驶过程中应保持与前车足够的安全距离，以便在紧急情况下能够及时反应并采取措施。若摩托车因未保持安全距离而在汽车刹车时摔倒，摩托车驾驶员可能需承担部分或全部责任。
紧急避险原则：
- 若汽车刹车是为了避免与突然出现的行人、动物或其他障碍物相撞，且该行为是合理且必要的紧急避险措施，那么汽车可能不承担责任或仅承担较小责任。但在此情况下，摩托车驾驶员仍需根据自身过错程度承担相应责任。
二、具体责任划分情况
摩托车负主要或全部责任：
- 若摩托车存在超速行驶、未保持安全距离、酒驾、无证驾驶等违法行为，或在汽车正常变道刹车情况下因自身原因（如驾驶技能不足、反应不及等）摔倒，则摩托车驾驶员需承担主要甚至全部责任。
汽车承担一定责任：
- 若汽车在变道过程中存在违规行为（如未提前开启转向灯、突然变道等），或无故紧急刹车导致后方正常行驶且保持合理车距的摩托车来不及反应而摔倒，则汽车需承担部分责任。
双方同等责任：
- 若汽车变道刹车存在一定不合理之处（如刹车稍微急促但并非突然紧急刹车），同时摩托车跟车距离也偏近，双方对事故发生都有过错，则可能被认定为同等责任。
三、其他影响因素
道路状况与天气条件：
- 道路湿滑、有坑洼、障碍物等，以及不良天气条件（如下雨、下雪、起雾等）都可能影响摩托车的刹车距离和反应时间，从而影响责任判定。在这些情况下，即使汽车刹车不是直接诱发因素，也可能因对摩托车产生了不合理的影响而分担部分责任。
摩托车驾驶员的驾驶技能：
- 摩托车驾驶员的驾驶经验、技能水平以及是否遵守交通规则等也是影响责任判定的重要因素。驾驶技能不足或违反交通规则可能导致摩托车驾驶员在事故中承担更大责任。
四、处理流程与建议
立即报警并保护现场：
- 发生交通事故后，当事人应立即报警并保护现场，以便公安机关交通管理部门进行勘验、检查。现场勘查是确定事故责任和赔偿处理的重要依据。
等待事故认定：
- 公安机关交通管理部门会根据现场勘验、检查结果以及当事人的陈述、证人证言等证据制作交通事故认定书，明确事故责任。当事人对认定书有异议的，可以依法提出复核申请。
协商或诉讼解决赔偿问题：
- 根据责任划分结果，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿。不足的部分，按照各自过错的比例分担责任。当事人可以通过协商或诉讼等方式解决赔偿问题。
总结与建议：在处理此类事故时，建议涉事双方保持冷静，及时报警并联系保险公司。同时，也提醒广大驾驶员在行车过程中要严格遵守交通规则，保持安全距离，确保行车安全。在变道或刹车时，应提前观察周围交通情况，确保操作合理且安全，以减少交通事故的发生。