继子过世后，继承权的问题主要取决于继子与继父（或继母）之间是否存在抚养关系，以及继子是否留有遗嘱指定继承人。以下从不同角度进行详细分析：
一、存在抚养关系的情况
法定继承权：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母。其中，“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
- 如果继子在未成年时与继父（或继母）共同生活，并受到了其抚养教育，或者继父（或继母）对已成年但限制行为能力或无行为能力的继子履行了抚养义务，那么他们之间就形成了法律上的抚养关系。在此情况下，继子作为法定第一顺序继承人中的子女，享有对继父（或继母）遗产的继承权。
- 举例：小张在其母亲改嫁老李后，由老李抚养成人。老李去世时，小张因存在抚养关系而有权继承老李的遗产。
继承份额：
- 在存在多个第一顺序继承人的情况下，遗产通常会在他们之间平均分配。但如果有继承人尽了主要赡养义务或者与被继承人共同生活，可以多分；有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。
二、不存在抚养关系的情况
无法定继承权：
- 如果继子在其生父或生母再婚时已经成年，或者虽然未成年但与继父（或继母）未共同生活且未受到其抚养教育，那么他们之间就不存在抚养关系。此时，继子通常不享有对继父（或继母）遗产的法定继承权，因为双方仅构成名义上的亲属关系，而非法律上的父母子女关系。
遗嘱继承：
- 尽管继子与继父（或继母）之间不存在抚养关系，但如果继父（或继母）在生前立有遗嘱，并明确指定由继子继承其遗产，那么无论是否存在抚养关系，继子都可以作为遗嘱继承人继承继父（或继母）的遗产。这一规定体现了尊重被继承人意愿的原则。
- 举例：老王去世前立下遗嘱，指定其继子小王继承其名下的一套房产。尽管小王与老王之间不存在抚养关系，但小王仍可根据遗嘱内容获得该房产的继承权。
三、实践中的处理方式
- 在实践中，如果对继子是否享有继承权存在争议，双方应首先尝试通过协商解决。协商不成时，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据具体情况进行认定和判决。
- 法院在判断继子与继父（或继母）之间是否存在抚养关系时，会综合考虑双方是否共同生活、继父（或继母）是否对继子进行了长期的抚养和教育行为等因素，以确保判决的公正性和合理性。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 对于存在抚养关系的继子来说，保留与继父（或继母）共同生活的照片、视频、学校记录、医疗记录等证据，有助于在继承纠纷中证明抚养关系的存在。
及时立遗嘱：
- 如果继父（或继母）希望将遗产留给继子，即使双方不存在抚养关系，也可以通过立遗嘱的方式明确指定继子为继承人。这有助于避免继承纠纷的发生。
咨询专业律师：
- 在处理继承纠纷时，由于涉及复杂的法律关系和证据收集，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
综上所述，继子过世后的继承权问题主要取决于其与继父（或继母）之间是否存在抚养关系以及继父（或继母）是否留有遗嘱。在实际操作中，应充分考虑法律规定和实践中的处理方式，以确保各方权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。