公立医院解除劳动关系是否有补偿，需根据解除的具体原因和情形来判断。以下从不同角度为您详细分析：
合法解除且无过错情形：
- 如果公立医院因劳动者存在严重违反规章制度、严重失职、营私舞弊给单位造成重大损害等法定过错情形而解除劳动关系，那么根据《劳动合同法》的相关规定，单位无需支付经济补偿。
- 法律依据：《劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：…（六）被依法追究刑事责任的；（其他情形略，主要列举了劳动者存在过错的几种情况）。在此类情况下，用人单位无需支付经济补偿。
合法解除但需支付补偿的情形：
- 如果公立医院因劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议等情形而解除劳动关系，那么单位需要支付经济补偿。
- 法律依据：《劳动合同法》第四十条，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：…（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；（三）劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。在此类情况下，用人单位需按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿，计算公式为：经济补偿=工作年限×月工资（工作年限满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
违法解除情形：
- 如果公立医院违法解除劳动关系，如未按照法定程序解除、解除理由不成立等，那么劳动者有权要求单位支付赔偿金，赔偿金是经济补偿的两倍。
- 法律依据：《劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
建议：
- 如果您作为劳动者，认为公立医院解除劳动关系的行为存在争议，建议首先与单位进行沟通协商，尝试通过友好方式解决纠纷。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。在申请仲裁时，请务必准备好相关证据材料，如劳动合同、解除劳动关系通知书、工资单等。
- 如果您对劳动仲裁结果不满意，还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
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