企业集团对下属企业私自开具增值税发票可能承担的责任，需分情况讨论，具体如下：
民事责任：
- 如果下属企业私自开具增值税发票的行为导致合同相对方（如客户、供应商等）遭受经济损失，且该行为与企业集团存在关联（如企业集团对下属企业存在管理失职、指示行为等），企业集团可能因共同侵权或过错责任原则，被要求承担连带赔偿责任或补充赔偿责任。
- 具体责任范围取决于企业集团对下属企业的控制程度、过错大小以及实际损失情况。
行政责任：
- 根据《中华人民共和国税收征收管理法》及其实施细则，以及《中华人民共和国发票管理办法》等相关规定，私自开具增值税发票属于违法行为，可能面临税务机关的行政处罚，包括罚款、没收违法所得等。
- 如果企业集团对下属企业的违法行为存在管理不善、纵容或默许等情形，税务机关可能对企业集团进行税务稽查，并视情节轻重给予相应的行政处罚。
刑事责任：
- 在极端情况下，如果下属企业私自开具增值税发票的行为构成犯罪（如虚开增值税专用发票罪），且企业集团作为单位犯罪的主体（如下属企业是企业集团的全资子公司或控股子公司，且违法行为体现企业集团意志），企业集团可能面临刑事指控，包括罚金、对直接负责的主管人员和其他直接责任人员判处刑罚等。
- 即使企业集团不构成单位犯罪的主体，但如果其相关人员（如高管、财务负责人等）参与或指使下属企业实施犯罪行为，这些个人也可能面临刑事责任。
建议：
- 企业集团应加强对下属企业的财务管理和税务合规培训，确保下属企业严格遵守税收法律法规和发票管理规定。
- 建立健全内部监督机制，定期对下属企业的财务和税务情况进行审计和检查，及时发现并纠正违法行为。
- 如发现下属企业存在私自开具增值税发票等违法行为，应立即采取措施予以制止，并主动向税务机关报告，积极配合税务机关的调查和处理工作，以减轻或避免可能的法律责任。
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