行政处罚自由裁量是行政执法部门在法定权限内，根据违法行为的具体情况，对是否处罚、处罚种类及幅度进行合理判断与选择的权力。在行使这一权力时，需要明确并写明以下几个关键内容：

一、处罚幅度的自由裁量说明

在法律规定的处罚种类和幅度内，行政机关需详细阐述为何选择特定的处罚种类或罚款数额。例如，若某违法行为法律规定了罚款的上下限，行政机关应说明根据违法情节的轻重（如违法行为的持续时间、影响范围、造成的后果等），选择了具体的罚款数额，并解释这一选择如何体现了公正、公平和合理性。

二、选择行为方式的自由裁量说明

行政机关在选择具体行政行为方式时，需写明选择某种方式（如警告、罚款、没收违法所得、责令停产停业等）的理由。这包括考虑违法行为的性质、情节、社会危害程度，以及行政相对人的具体情况（如是否初犯、是否有悔过表现等），从而说明为何选择该种方式而非其他方式。

三、事实性质认定的自由裁量说明

行政机关在认定行政管理相对人的行为性质时，需详细阐述认定依据和过程。这包括说明如何根据法律法规和事实情况，对行为是否构成违法行为进行判断，以及为何认定该行为属于某一特定性质的违法行为（如是否属于故意违法行为、是否属于情节严重的违法行为等）。

四、情节轻重认定的自由裁量说明

在法律法规未明确规定具体标准的情况下，行政机关需对违法行为的情节轻重进行裁量，并写明裁量理由。这包括说明如何根据违法行为的严重程度（如造成的损失大小、影响范围广窄、是否涉及公共安全等）来决定处罚的种类和幅度，以及为何认为该情节属于轻微、一般、较重还是严重。

五、决定是否执行的自由裁量说明（如适用）

对于某些轻微的违法行为，行政机关有权决定是否执行具体行政决定。若选择不执行，需写明不执行的理由，如违法行为轻微并及时改正、无主观过错等，并说明采取的其他措施（如口头警告、教育引导等）如何足以纠正违法行为并维护社会秩序。

六、适用规则与程序规则的遵循说明

行政机关在行使自由裁量权时，还需遵循一系列适用规则和程序规则，如裁量阶次划分、不予处罚情形、从轻或减轻处罚情形、从重处罚情形等，以及说明理由制度、公开制度、集体讨论制度等。在行政处罚决定中，应明确说明这些规则是如何被遵循的，以及为何选择特定的处罚方式符合这些规则的要求。

七、不同领域裁量基准的参考说明（如适用）

在某些特定领域（如城市管理、生态环境等），行政机关可能制定了详细的裁量基准。在行使自由裁量权时，若参考了这些基准，应在行政处罚决定中写明参考的基准内容及其如何影响了处罚决定。

综上所述，行政处罚自由裁量需要写明的内容涵盖了处罚幅度的选择、行为方式的选择、事实性质的认定、情节轻重的认定、是否执行的决定、适用规则与程序规则的遵循，以及不同领域裁量基准的参考等多个方面。这些内容的详细阐述有助于确保行政处罚的公正性、公平性和合理性，同时保障行政相对人的合法权益。