申请再审的法定情形及事实和理由，是当事人在认为原判决、裁定存在错误时，依据相关法律法规向法院请求对案件重新进行审理的重要依据。以下是对此问题的详细解答：
一、法定情形
根据《中华人民共和国民事诉讼法》、《中华人民共和国刑事诉讼法》及《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，申请再审的法定情形主要包括以下几类：
新证据出现：
- 在原审庭审结束后，当事人发现新的证据，且该证据足以推翻原判决、裁定。新证据必须是对案件基本事实有重要影响，能够改变原裁判结果的证据。
- 示例：在一起合同纠纷案件中，原审时一方当事人隐瞒了关键交易记录，再审时提供了新的交易记录，足以证明原判决认定的合同金额有误。
事实认定错误：
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏足够证据支持，或主要证据系伪造、未经质证。
- 示例：在一起侵权纠纷中，被告为了逃避责任，伪造了原告签名的免责协议，作为原判决的主要证据，这构成事实认定错误。
法律适用错误：
- 原判决、裁定在适用实体法或程序法方面存在错误，导致判决结果不公。
- 示例：在一起交通事故赔偿案件中，原判决错误地适用了过时的赔偿标准，导致赔偿金额过低。
程序违法：
- 诉讼程序存在违法情形，可能剥夺了当事人的合法权益，影响了案件的公正审理。
- 示例：在一起民事案件中，原审法院未依法送达开庭传票，导致被告未能参加庭审，这构成程序违法。
审判人员违法行为：
- 审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
- 示例：在一起刑事案件中，审判人员接受了被告人的贿赂，故意减轻其刑罚，这构成审判人员违法行为。
其他特定情形：
- 如原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求、据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更等。
二、事实和理由
在申请再审时，当事人需要明确指出原判决或裁定存在的具体错误，并提供充分的事实和理由支持其申请。这些事实和理由应紧密围绕上述法定情形展开，具体包括：
新证据的说明：
- 详细阐述新证据的发现时间、地点、内容及其对案件基本事实的影响。
- 证明新证据因不可归责于当事人的原因未能在原审中呈现。
事实认定错误的论证：
- 分析原判决、裁定在事实认定方面存在的不足或错误。
- 提供相反证据或逻辑推理，证明原判决、裁定认定的事实不成立或存在重大疑问。
法律适用错误的剖析：
- 指出原判决、裁定在适用法律方面的错误或不当之处。
- 引用相关法律条文或司法解释，证明原判决、裁定在法律适用上存在偏差。
程序违法的揭示：
- 详细描述诉讼程序中的违法情形及其对当事人权益的影响。
- 提供相关证据或记录，证明程序违法事实的存在。
审判人员违法行为的指控：
- 提供证据证明审判人员在审理案件时存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
- 阐述这些行为对案件公正审理的影响及后果。
三、申请再审的操作建议
明确申请再审的法定情形：在提出申请时，必须明确指出原判决或裁定存在的具体错误，并对应上述法律条款中的一项或多项再审情形。
提供充分证据支持：提供充分、明确的证据支持所提理由，如新发现的证据材料、原判决适用法律错误的详细分析等。
撰写规范的申请书：确保申请书内容条理清晰、逻辑严密，以便法院能够迅速理解申请的核心要点和依据。
申请再审是一项严肃而复杂的法律行为，需要当事人或其代理人充分理解相关法律法规，准确识别再审情形，并提供有力的证据支持。如果你有任何关于申请再审的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。