在劳动争议案件中，当事人确实有权申请保全措施，且这一权利不仅限于诉讼阶段，在劳动仲裁阶段同样可以提出申请。以下是对此问题的详细解答：
一、保全措施的类型及目的
保全措施主要包括财产保全和证据保全两种：
- 财产保全：旨在确保未来判决或裁决的执行，防止财产被转移、隐匿或毁损。这对于保障劳动者的合法权益，特别是在用人单位可能存在欠薪、逃匿等风险时，尤为重要。
- 证据保全：在证据可能灭失或以后难以取得的情况下，确保关键证据得以保存。这对于证明劳动者的主张，维护其合法权益，具有关键作用。
二、申请保全的法律依据
- 《中华人民共和国民事诉讼法》：该法赋予了当事人在民事纠纷中申请保全的权利，劳动争议案件作为民事纠纷的一种，同样适用。
- 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》及相关法律法规：特别规定了劳动者在劳动争议案件中申请保全的权利，为劳动者提供了法律保障。
- 《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》：对劳动者申请保全时的倾斜保护政策进行了明确规定，如减轻或免除劳动者的担保义务等。
三、申请保全的条件与程序
申请条件：
- 申请人需为劳动纠纷中的一方当事人，即劳动者或用人单位。
- 情况紧急，不立即申请保全将会使申请人的合法权益受到难以弥补的损害。
- 申请人通常需提供担保，但在劳动争议案件中，如劳动者经济确有困难或有证据证明用人单位存在欠薪逃匿可能，人民法院可以减轻或免除其担保义务。
申请程序：
- 劳动仲裁阶段：劳动者可以在劳动仲裁程序开始后至仲裁裁决作出前，向劳动争议仲裁委员会提交书面财产保全申请及全部证据材料。仲裁委员会将申请转交有管辖权的人民法院进行审查。
- 诉讼阶段：若劳动争议案件进入诉讼阶段，当事人可以直接向人民法院提出保全申请。
- 人民法院审查：人民法院在接受申请后，将在四十八小时内作出裁定，决定是否采取保全措施。若裁定采取保全措施，应立即开始执行。
四、特殊规定与倾斜保护
在劳动争议案件中，考虑到劳动者的弱势地位，法律对劳动者申请保全给予了特别的倾斜保护。特别是在劳动者经济困难或用人单位存在欠薪逃匿风险时，人民法院将减轻或免除劳动者的担保义务，以确保其合法权益得到有效保障。
五、注意事项
- 谨慎申请：财产保全并非随意行为，申请者需确保申请理由充分且证据确凿。若申请有误，需承担因此给被申请人造成的损失赔偿责任。
- 及时跟进：人民法院在接受申请后，将依法进行审查并执行保全措施。劳动者应密切关注裁定结果及执行情况，确保保全措施的有效性。
- 保全期限：若在人民法院采取保全措施后三十日内，劳动者未提起仲裁或仲裁未受理（或在诉讼阶段未提起诉讼），人民法院将解除保全措施。因此，劳动者需及时行使权利，确保保全措施的持续有效。
综上所述，劳动争议案件中的保全措施是法律赋予当事人的一项重要权利。当事人在行使这一权利时，应严格遵守法律规定的条件和程序，以确保保全措施的合法性和有效性。