结论前置：员工给公司带来损失，公司一般不能直接起诉员工要求赔偿，而是需要依据具体情况，通过劳动仲裁或法律诉讼等途径来追究员工的责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动仲裁的必要性
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第七十九条，劳动争议发生后，当事人应首先向劳动争议调解委员会申请调解（可选）；调解不成或未申请调解的，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，方可向人民法院提起诉讼。
- 由于劳动关系具有隶属性和管理性特点，劳动者与用人单位之间并非平等主体间的民事关系，因此因员工造成的经济损失纠纷属于劳动争议范畴，需遵循“先裁后审”的原则。
劳动合同约定：
- 在处理员工给公司造成经济损失的问题时，首先应查看劳动合同中是否有相关约定。如果劳动合同中明确规定了经济损失的处理方式（如赔偿责任、赔偿限额等），则应按约定执行。但即便有约定，也通常需要先通过劳动仲裁来确认员工的赔偿责任。
二、可直接起诉的特殊情况
员工行为构成侵权且与劳动关系无关：
- 如果员工的行为构成侵权，且该侵权行为与劳动关系无关，如工作之外的故意损坏公司财物，公司可以直接向法院提起诉讼，要求员工承担侵权责任。
员工违反竞业限制协议或保密协议：
- 如果员工在职期间或离职后违反竞业限制协议或保密协议，给公司造成经济损失，公司也可以直接向法院提起诉讼，要求员工承担违约责任或赔偿责任。但这种情况下的诉讼，往往也伴随着对劳动合同或相关协议的审查，且可能仍需先通过劳动仲裁确认部分事实。不过，在司法实践中，对于此类明确违反合同约定的行为，法院有时也会直接受理公司的诉讼请求。
三、赔偿的法律依据与注意事项
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。
- 《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规也规定了劳动者因故意或重大过失给用人单位造成损失时，应当承担赔偿责任。
注意事项：
- 证据充分性：公司需提供确凿证据证明员工行为与损失之间的因果关系，以及行为的违规性或违法性。
- 赔偿范围明确：赔偿应涵盖直接损失和合理的间接损失，确保请求的合理性和合法性。
- 遵循法律程序：公司应遵循协商、仲裁、诉讼等法定程序处理赔偿事宜，避免直接起诉可能带来的程序风险。
四、建议与操作流程
协商与调解：
- 在发现员工造成损失后，公司应首先尝试与员工进行友好协商，寻求和解的可能性。这有助于节省时间和成本，同时维护双方的合作关系。
- 如协商无果，可寻求劳动争议调解委员会的调解，以寻求更为和谐的解决方案。
劳动仲裁程序：
- 若协商和调解均未能解决问题，公司需向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，请求裁决员工承担经济损失的赔偿责任。
- 仲裁过程中，双方将提交证据并进行辩论，由仲裁委员会根据事实和法律作出裁决。
诉讼程序：
- 如果公司对仲裁裁决不满，可在法定期限内向人民法院提起诉讼。此时，法院将根据双方提交的证据和法律规定进行审理，并作出最终判决。
总结与建议：员工给公司带来损失时，公司不能直接起诉员工要求赔偿，而是需要依据具体情况通过劳动仲裁或法律诉讼等途径来追究员工的责任。在处理此类问题时，公司应确保自己的行为合法合规，避免侵犯员工的合法权益。同时，建议公司在日常管理中加强内部风险控制，明确员工职责和行为规范，以预防类似事件的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。