联通公司（或任何公司）在以下情况下可以开除员工，但必须严格遵循法律规定的条件和程序：

1. 劳动者存在过错的情况

   • 试用期间不符合录用条件：若员工在试用期内未达到公司明确且已告知的录用条件，公司有权解除劳动合同。例如，招聘时明确要求员工需具备某项技能或证书，而员工在试用期内未能获得或展示该技能或证书。
   • 严重违反规章制度：公司需有合法、合理且经过公示的规章制度。员工如连续旷工、泄露商业机密等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。例如，员工未经允许将公司机密文件泄露给竞争对手，给公司造成重大损失。
   • 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。例如，员工因疏忽大意导致公司重要项目失败，或利用职务之便为自己或他人谋取私利。
   • 兼职影响工作：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可解除劳动合同。例如，员工因兼职工作频繁请假，导致本职工作无法按时完成。
   • 劳动合同无效：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。例如，员工提供虚假学历证书或工作经历，骗取公司录用。
   • 被追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任时，公司可解除劳动合同。例如，员工因犯罪被法院判处刑罚。

2. 非因劳动者过错的情况

   • 患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。但需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资，并提供医疗期证明及员工不能胜任工作的相关证明。
   • 不能胜任工作：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。同样需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资，并提供绩效考核记录、培训记录等证据。
   • 客观情况变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。例如，公司因业务调整需要撤销某个部门，导致该部门员工无法继续在公司工作。

3. 经济性裁员

   • 在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。但需遵循法定程序，如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见，并向劳动行政部门报告等。

开除员工的程序要求：

• 公司开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。

经济补偿与赔偿：

• 合法开除无需赔偿：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
• 违法开除需赔偿：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

总结与建议：

联通公司在开除员工时，必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。若公司违反法律规定开除员工，可能面临支付经济赔偿金等法律责任。因此，建议公司在开除员工前，务必咨询专业律师或法律顾问，以确保合法合规。若您有任何关于劳动纠纷的法律问题，欢迎直接向我咨询。