在离婚起诉过程中，要求提供孩子的出生证明，主要是基于以下几个方面的考虑：
一、出生证明的法律意义
孩子的出生证明，即《出生医学证明》，是能够证明未成年人出生信息的重要法律文件。它记录了孩子的出生时间、地点、父母信息等关键内容，是孩子身份和国籍的重要证明。在法律上，这份证明具有极高的权威性和证明力，是办理孩子户籍、入学、出国等重要事务时不可或缺的证件。
二、离婚诉讼中的实际需求
确定抚养权和抚养费：在离婚诉讼中，法院需要确定孩子的抚养权归属以及抚养费的支付情况。孩子的出生证明作为证明孩子身份和年龄的关键证据，有助于法院准确判断孩子的实际需求，从而做出合理的判决。
保障孩子权益：离婚诉讼往往伴随着父母之间的矛盾和冲突，但孩子的权益不应因此受到损害。提供孩子的出生证明，可以确保法院在审理案件时，能够充分考虑到孩子的利益，如入学、落户等，从而保障孩子的合法权益不受侵害。
便于后续事务办理：离婚后，孩子可能需要随一方生活，并办理相关的户籍、入学等手续。这些手续的办理往往需要提供孩子的出生证明。因此，在离婚诉讼中要求提供出生证明，也是为了便于后续事务的顺利办理。
三、实际案例中的体现
从实际案例来看，如您所提到的两个案例中，都涉及到了孩子出生证明的交付问题。在第一个案例中，由于被告拒绝交付孩子的出生证明，导致孩子无法顺利入学，原告因此提起诉讼。法院在审理时，明确指出了出生证明对孩子入学等成长过程中的重要作用，并判决被告归还证件。在第二个案例中，也是因为离婚后双方在孩子出生证明的交付上产生纠纷，最终通过法院的调解得以解决。这两个案例都充分说明了在离婚诉讼中提供孩子出生证明的重要性。
四、法律义务与道德责任
作为父母，无论是否离婚，都有义务确保子女能够便利、及时地使用出生证明等证件。这是法律规定的义务，也是中华民族的传统美德。未直接抚养子女的一方如若强占子女的出生证明等文件，不仅会直接侵害孩子的权利，也违反了我国民法典的相关规定。
综上所述，离婚起诉时要求提供孩子的出生证明，是为了确保法院能够准确判断孩子的身份和年龄，保障孩子的合法权益不受侵害，并便于后续事务的顺利办理。这是法律的要求，也是父母应尽的义务和责任。