结论：行政拘留期间，若家里有老人瘫痪不能自理，能否申请暂缓执行以照顾老人，以及申请后是否还需继续执行拘留，需视具体情况而定。以下从法律角度进行详细分析：
一、行政拘留的基本性质与执行
行政拘留是公安机关依法对违反行政管理秩序的公民采取的短期限制人身自由的行政处罚措施。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，行政拘留的决定一旦作出，通常需要立即执行，除非存在法定暂缓执行或不予执行的情形。
二、申请暂缓执行行政拘留的条件
在特定情况下，被处罚人可以申请暂缓执行行政拘留。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第一百零七条：“被处罚人不服行政拘留处罚决定，申请行政复议、提起行政诉讼的，可以向公安机关提出暂缓执行行政拘留的申请。公安机关认为暂缓执行行政拘留不致发生社会危险的，由被处罚人或者其近亲属提出符合本法第一百零八条规定条件的担保人，或者按每日行政拘留二百元的标准交纳保证金，行政拘留的处罚决定暂缓执行。”
关键点分析：
- 申请条件：被处罚人必须不服行政拘留处罚决定，并已申请行政复议或提起行政诉讼。
- 社会危险性评估：公安机关会评估暂缓执行是否可能引发社会危险。
- 担保或保证金：被处罚人或其近亲属需提出符合条件的担保人，或交纳保证金。
针对您的情况：
- 若您因行政拘留无法照顾瘫痪老人，这本身并不直接构成暂缓执行的法定理由。但如果您能证明暂缓执行不会引发社会危险，并满足其他申请条件，理论上可以尝试申请。
- 实践中，公安机关会综合考虑多种因素，包括被处罚人的社会危险性、家庭情况等，来决定是否批准暂缓执行。
三、申请后的法律后果
- 若申请获批：行政拘留的处罚决定将暂缓执行。在此期间，您需遵守相关规定，如不得再次违法、不得逃避处罚等。若您在暂缓执行期间表现良好，且行政复议或行政诉讼结果维持原处罚决定，您仍需执行行政拘留。但若复议或诉讼结果改变原处罚决定，则可能不再执行。
- 若申请未获批：您需按照原处罚决定执行行政拘留。在执行期间，您可能无法直接照顾瘫痪老人，但可以考虑通过其他方式安排老人的照顾问题，如聘请护工、寻求亲属帮助等。
四、建议与措施
- 及时沟通：与作出行政拘留决定的公安机关沟通，说明您的家庭情况，看是否能获得理解与支持。
- 准备申请材料：若决定申请暂缓执行，需准备相关材料，如行政复议或行政诉讼的申请书、担保人的身份证明及担保书、保证金等。
- 寻求法律援助：如有需要，可以咨询专业律师，获取更具体的法律建议与帮助。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，法律程序也可能因地区而异。因此，在处理此类问题时，建议您直接向我咨询，以便获得更准确、更具体的法律指导。