国家政府机关工作人员在执行公务时不出示工作证且不处理问题，这一行为缺乏合法依据，且可能违反相关法律法规和行政程序规定。以下从多个角度对此问题进行分析：
一、出示工作证的法律依据与必要性
法律依据：
- 根据《中华人民共和国居民身份证法》第十五条（虽直接规定的是警察查验身份证的情形，但体现了出示证件的普遍性要求）以及行政程序的一般原则，政府机关工作人员在执行公务时，应当主动出示能够证明其身份的证件，这是保障公民知情权、监督权的重要体现。
- 特定领域的法律法规，如《中华人民共和国人民警察法》等，也明确规定了警察在执行职务时应当出示证件的义务。虽然这些规定可能针对特定职业，但体现了出示证件在行政执法中的普遍性和重要性。
必要性：
- 出示工作证是政府机关工作人员履行职责的基本要求，有助于确认其身份和职权范围，防止假冒公职人员进行违法活动。
- 对于公民而言，要求工作人员出示工作证是行使监督权的一种方式，可以确保公务活动的合法性和正当性。
二、不出示工作证且不处理问题的法律后果
行政程序违法：
- 如果政府机关工作人员在执行公务时不出示工作证，且拒绝处理公民提出的问题或诉求，这可能构成行政程序违法。公民有权要求工作人员出示证件，并有权对不合法的行政行为提出异议或投诉。
可能侵犯公民权益：
- 不出示工作证且不处理问题，可能导致公民的合法权益无法得到及时有效的保障。例如，公民可能因无法确认工作人员身份而拒绝配合其工作，进而引发不必要的冲突或误解。
- 在某些情况下，这种行为还可能构成对公民人身权、财产权等合法权益的侵犯，公民有权依法寻求救济。
三、公民应对措施与建议
要求出示工作证：
- 公民在遇到政府机关工作人员执行公务时，有权要求其出示工作证或其他能够证明身份的证件。如果工作人员拒绝出示，公民可以拒绝配合其工作，并有权向相关部门投诉或举报。
记录并保留证据：
- 如果公民认为工作人员的行为违法或不当，应当尽可能记录并保留相关证据，如现场照片、视频、录音等。这些证据将有助于公民在后续维权过程中证明自己的主张。
寻求法律救济：
- 如果公民的合法权益因工作人员的不当行为而受到侵害，可以依法向相关部门申请行政复议或提起行政诉讼，要求赔偿损失并纠正违法行为。
总结来说，国家政府机关工作人员在执行公务时不出示工作证且不处理问题，是缺乏合法依据且可能违反相关法律法规和行政程序规定的行为。公民有权要求工作人员出示证件，并在必要时寻求法律救济以维护自己的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。