在煤矿或任何用人单位中，要开除员工（即解除劳动合同），必须遵循《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。以下是一些合法且不需要支付经济补偿金的开除员工的情形：
试用期间不符合录用条件：
- 如果员工在试用期间被证明不符合煤矿的录用条件，煤矿有权解除劳动合同。这要求煤矿在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行合理的评估。
严重违反规章制度：
- 员工如果严重违反煤矿的规章制度，如安全操作规程、劳动纪律等，煤矿可以解除劳动合同。这要求煤矿有明确的规章制度，并且这些规章制度已经向员工公示或告知。
严重失职或营私舞弊：
- 如果员工因严重失职或营私舞弊给煤矿造成重大损害，煤矿有权解除劳动合同。这要求煤矿能够证明员工的失职或营私舞弊行为与损害结果之间存在直接的因果关系。
同时与其他单位建立劳动关系：
- 如果员工同时与其他用人单位建立劳动关系，并且这种关系对完成本单位的工作任务造成了严重影响，或者经煤矿提出后员工拒不改正，煤矿可以解除劳动合同。
劳动合同无效：
- 如果员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使煤矿在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，煤矿有权解除劳动合同。
被依法追究刑事责任：
- 如果员工被依法追究刑事责任，煤矿可以解除劳动合同。这要求煤矿能够获取员工被追究刑事责任的官方证明。
重要提示：
- 在解除劳动合同前，煤矿应当确保所有解除行为都符合法律法规的规定，并且有充分的证据支持。
- 煤矿在解除劳动合同时，应当遵循正当程序，如提前通知员工、听取员工的陈述和申辩等。
- 在某些情况下，即使员工存在过错，煤矿也可能需要支付一定的经济补偿金或赔偿金，具体取决于法律法规的规定和劳动合同的约定。
建议：
- 煤矿在制定规章制度时，应当确保规章制度的合法性和合理性，并且向员工进行充分的公示和告知。
- 在解除劳动合同时，煤矿应当咨询专业的法律人士或劳动仲裁机构，以确保解除行为的合法性和合规性。
总之，煤矿要开除员工必须遵循法律法规的规定，并且有充分的证据和正当的程序支持。