公司想要开除员工，必须遵循《中华人民共和国劳动合同法》以及其他相关法律法规的规定，确保开除行为的合法性和合理性。以下是一些公司可以开除员工的常见情形及相应的程序：
一、合法开除员工的情形
员工在试用期间被证明不符合录用条件：
- 如果员工在试用期内表现不佳，无法达到公司设定的录用标准，公司有权在试用期内解除劳动合同。
员工严重违反公司规章制度：
- 如果员工违反了公司明确规定的规章制度，且这种违反行为严重到足以影响公司的正常运营或损害公司利益，公司可以解除劳动合同。
员工严重失职，营私舞弊，给公司造成重大损害：
- 如果员工因严重失职或营私舞弊行为导致公司遭受重大经济损失或声誉损害，公司有权解除劳动合同。
员工同时与其他公司建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正：
- 如果员工在未经公司同意的情况下，同时与其他公司建立劳动关系，且这种行为严重影响了其在本公司的工作表现，或者公司提出后员工拒不改正，公司可以解除劳动合同。
员工被依法追究刑事责任：
- 如果员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，公司有权解除劳动合同。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且经公司与员工协商未能就变更劳动合同内容达成协议：
- 在某些特殊情况下，如公司业务调整、市场环境变化等，导致原劳动合同无法继续履行，且公司与员工无法就变更劳动合同内容达成一致，公司可以解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资。
二、经济性裁员的情形及程序
如果公司因生产经营发生严重困难、企业转产、重大技术革新或经营方式调整等原因，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，应遵循以下程序：
提前三十日向工会或全体职工说明情况：
- 公司需提前三十日向工会或全体职工说明裁员的原因、范围、时间等，并提供有关生产经营状况的资料。
提出裁减人员方案：
- 方案应包括被裁减人员名单、裁减时间及实施步骤、经济补偿办法等。
征求工会或全体职工的意见：
- 公司需将裁减人员方案征求工会或全体职工的意见，并根据意见对方案进行修改和完善。
向当地劳动行政部门报告：
- 公司需将裁减人员方案及工会或全体职工的意见向当地劳动行政部门报告，并听取劳动行政部门的意见。
正式公布裁减人员方案并办理解除劳动合同手续：
- 公司需正式公布裁减人员方案，与被裁减人员办理解除劳动合同手续，并按照有关规定支付经济补偿金。
三、不得裁减的人员
根据相关法律法规，公司不得裁减以下人员：
- 患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的员工；
- 患病或负伤，在规定的医疗期内的员工；
- 女职工在孕期、产期、哺乳期内的员工；
- 法律、行政法规规定的其他情形。
四、建议
公司在开除员工或进行经济性裁员时，应确保行为的合法性和合理性，避免引发劳动争议。同时，公司应积极与员工沟通，尽量通过协商解决问题，以维护良好的劳动关系。如果公司对相关法律法规不熟悉或存在疑问，建议咨询专业律师或劳动行政部门以获取准确指导。