针对您提出的“老人留下来的遗产怎么处理”这一问题，这确实是一个涉及法律程序和家庭情感的重要议题。以下是我根据相关法律法规和实际案例，为您提供的详细解答：

一、遗产处理的基本原则

首先，我们需要明确的是，遗产的处理应遵循《民法典》的相关规定，确保遗产的分配既合法又合理，同时尊重被继承人的真实意愿。

二、有遗嘱的情况

如果老人在生前立有合法有效的遗嘱，那么遗产的处理将按照遗嘱的内容进行。遗嘱可以指定继承人、受遗赠人以及遗产的分配方式。在这种情况下，继承人或受遗赠人应按照遗嘱的规定，依法办理遗产继承手续。

三、无遗嘱的情况

如果老人没有立遗嘱，或者遗嘱无效，那么遗产的处理将按照法定继承的顺序进行。根据《民法典》的规定，法定继承分为第一顺序和第二顺序。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在有第一顺序继承人的情况下，第二顺序继承人不参与继承。

1. 有法定继承人的情况：

   • 如果老人有法定继承人，且继承人愿意继承遗产，那么遗产将由这些继承人按照法定继承的顺序和份额进行分配。

2. 无法定继承人的情况：

   • 如果老人没有法定继承人，或者所有法定继承人都放弃继承，那么根据《民法典》的规定，无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业。在这种情况下，被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会将担任遗产管理人，负责遗产的清理、保管和分配工作。
   • 值得注意的是，如果老人的旁系亲属（如堂弟、表姐等）在老人生前对其尽了较多的扶养义务，他们可能在一定程度上有权分得遗产。但这一权利并非法定继承权，而是基于扶养事实的酌情分配权。法院会根据扶养时间、扶养程度等因素，酌情判定旁系亲属分得一定份额的遗产。

四、实际案例参考

以您提供的上海首例由民政部门申请认定的无主财产收归国有案为例，独居老人葛老伯去世后留下大量财产和房产，但他没有法定继承人，生前也未立遗嘱。在这种情况下，徐汇区民政局作为葛老伯生前住所地的民政部门，被法院指定为遗产管理人。后来，葛老伯的堂弟因对老人尽了较多扶养义务，法院酌情判定其分得部分遗产，而剩余财产则收归国有。

五、建议与提醒

1. 早立遗嘱：为了避免身后财产纠纷，老人最好在生前立下合法有效的遗嘱，明确遗产的分配方式。这不仅可以确保遗产按照自己的意愿进行分配，还可以减少家庭成员之间的矛盾和纠纷。
2. 了解法律程序：在处理遗产时，了解相关的法律程序和规定是非常重要的。这可以帮助您更好地维护自己的合法权益，避免不必要的法律风险。
3. 寻求专业帮助：如果您在处理遗产过程中遇到困难或疑问，可以寻求专业律师或法律机构的帮助。他们可以提供专业的法律意见和指导，帮助您顺利完成遗产的处理工作。

综上所述，老人留下来的遗产的处理方式取决于是否有遗嘱以及是否有法定继承人。在处理遗产时，我们应遵循法律法规的规定，尊重被继承人的真实意愿，并尽可能减少家庭成员之间的矛盾和纠纷。希望这些解答能对您有所帮助。