针对您提出的“不签合同开除员工怎么赔偿”的问题，这确实涉及两个核心方面：一是未签订书面劳动合同的赔偿，二是违法解除劳动关系的赔偿。下面我将结合相关法律法规，为您详细解析这两个问题。

一、未签订书面劳动合同的赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，用人单位应当与劳动者订立书面劳动合同。如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么它需要向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿，这个赔偿期限最长是11个月。

举例来说：如果您于2024年1月1日入职某公司，但公司一直未与您签订书面劳动合同，直到2024年11月1日将您开除。那么，从2024年2月1日至2024年10月31日这9个月期间（因为最长赔偿11个月，且入职首月不计入内），公司除了正常发放您的工资外，还需要额外向您支付这9个月的二倍工资作为赔偿。

二、违法解除劳动关系的赔偿

如果用人单位无正当理由开除员工，这个行为被认定为违法解除劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准是按照劳动者在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

再举例来说：如果您在某公司工作了3年零3个月，月平均工资为6000元。如果公司无正当理由将您开除，那么它应该支付的赔偿金就是6000元×3.5个月×2=42000元。但是，如果您是因为犯错或不能胜任工作而被开除，那么公司就不需要支付这笔赔偿金。

三、额外注意事项

除了上述两种赔偿外，如果用人单位在开除员工时没有提前一个月通知，或者没有多给一个月工资作为代通知金，那么它还需要根据员工的工作年限额外支付赔偿金，这个标准是每满一年支付一个月工资。

四、维权建议

在主张上述赔偿时，您需要收集相关证据来证明与用人单位存在劳动关系以及您的工作时间、工资水平等关键信息。这些证据可以包括工资支付记录（如银行流水、工资条）、工作证、考勤记录、同事证言等。如果遇到此类问题，我建议您及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。

综上所述，不签合同开除员工的赔偿问题需要根据具体情况来判断。希望我的解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时告诉我。