核心结论：法定代表人死亡但公司仍在运营的情况下，投标时法定代表人授权问题可以通过以下两种方式解决：1. 由新任法定代表人出具授权文件；2. 在未及时变更登记时，由公司章程规定的有权主体出具授权文件。以下为详细说明：

1. 由新任法定代表人出具授权文件

根据《公司法》第十三条，公司法定代表人依照公司章程的规定，由董事长、执行董事或者经理担任，并依法登记。公司法定代表人变更的，应当办理变更登记。
若原法定代表人死亡，公司应按照《公司章程》规定的程序选举新任法定代表人（如通过股东会决议选举新董事长/执行董事，或董事会决议聘任新经理），并完成工商变更登记。新任法定代表人取得合法身份后，可代表公司签署投标授权文件，授权具体人员参与投标。
操作要点：

• 完成公司内部选举程序（如股东会决议、董事会决议）；
  
• 携带变更登记材料（如营业执照副本、新任法定代表人身份证明、股东会决议等）到工商部门办理法定代表人变更登记；
  
• 新任法定代表人签署授权委托书，明确授权范围、期限及被授权人身份。

2. 在未及时变更登记时，由公司章程规定的有权主体出具授权文件

若因特殊原因（如股东争议、材料准备不充分等）未能及时完成法定代表人变更登记，公司仍需参与投标，此时可依据《公司章程》的规定，由有权主体（如董事会、执行董事）出具授权文件。
根据《民法典》第六十一条，法定代表人以公司名义从事的民事活动，其法律后果由公司承受。法定代表人死亡后，在变更登记完成前，公司仍需以自身名义对外活动，此时可由公司章程规定的决策机构（如董事会）临时授权具体人员参与投标。
操作要点：

• 查阅公司章程，确认授权主体（如董事会、执行董事）及授权程序；
  
• 由有权主体召开会议并形成决议，明确授权被授权人参与投标；
  
• 授权文件中需注明“原法定代表人已死亡，公司正在办理变更登记，本授权文件系公司临时授权”等说明，避免争议；
  
• 投标文件中可附原法定代表人死亡证明、公司章程、授权决议等材料，增强授权文件的合法性。

风险提示

• 授权文件效力风险：若未及时变更法定代表人且未通过公司章程规定主体授权，可能导致授权文件被认定为无效，影响投标资格；
  
• 工商处罚风险：若法定代表人死亡后未及时变更登记，可能面临工商部门责令限期登记或罚款（《公司登记管理条例》第六十八条）；
  
• 表见代理风险：若原法定代表人亲属或他人冒用原法定代表人名义签署授权文件，可能构成表见代理，公司需承担相应法律责任。

建议：优先通过变更法定代表人并由新任法定代表人出具授权文件的方式参与投标；若时间紧迫，可同步启动变更程序并由公司章程规定主体出具临时授权文件，确保投标合法有效。如有进一步疑问，可直接向我咨询。