关于私企元旦不放假是否违法的问题，这主要涉及到我国的劳动法规定以及带薪年休假制度。

首先，我们需要明确的是，元旦作为我国的法定节假日，劳动者是有权享受休息的。根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，用人单位在法定节假日应当安排劳动者休假。如果私企在元旦不安排员工放假，且不按照法律规定支付加班费，那么这种行为是违法的。

进一步地，我们来看带薪年休假制度。虽然直接的法律条文可能并未明确提及元旦不放假的具体处罚，但我们可以从带薪年休假的相关规定中推导出一些原则。带薪年休假是劳动者的一项重要权益，用人单位应当保证劳动者享受年休假。如果用人单位不安排职工休年休假，又不依照规定给予年休假工资报酬的，会面临一系列的法律风险，包括被责令限期改正、支付年休假工资报酬及赔偿金，甚至可能面临强制执行等。虽然这些规定直接针对的是年休假，但它们体现了我国劳动法对于劳动者休息权的保护原则，这一原则同样适用于法定节假日的休息。

再结合您提供的关于“隐形加班”的案例，我们可以看到，即使劳动者在休息时间通过线上方式处理工作，只要能够证明付出了实质性劳动，且这种劳动占用了其休息时间，就有可能被认定为加班，并需要支付相应的加班费。这进一步说明了，无论是线下还是线上，劳动者的休息权都是受到法律保护的。

因此，如果私企在元旦不安排员工放假，且不支付加班费，那么这种行为不仅违反了《中华人民共和国劳动法》中关于法定节假日休假的规定，也侵犯了劳动者的休息权。员工有权向相关部门投诉，并要求用人单位支付加班费及可能的赔偿金。

综上所述，私企元旦不放假且不支付加班费的行为是违法的。用人单位应当严格遵守劳动法律法规，尊重并保护劳动者的休息权。