结论：聘用期间连续请假4个月是否会被辞退以及是否合法，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

一、从公司规章制度角度

1. 若公司规章制度有明确规定：
   • 如果公司的规章制度中明确规定了员工连续请假的时间上限，并且连续请假4个月超出了这个上限，同时该规章制度是经过民主程序制定、已向员工公示且不违反法律法规的强制性规定，那么公司有权依据规章制度辞退员工，且这种辞退行为在形式上可能是合法的。例如，公司规定员工连续请假不得超过1个月，员工连续请假4个月，公司以此为由辞退员工，在符合上述条件的情况下，从公司规章制度执行的角度看，辞退行为有依据。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第四条，用人单位应当依法建立和完善劳动规章制度，保障劳动者享有劳动权利、履行劳动义务。用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。在规章制度和重大事项决定实施过程中，工会或者职工认为不适当的，有权向用人单位提出，通过协商予以修改完善。用人单位应当将直接涉及劳动者切身利益的规章制度和重大事项决定公示，或者告知劳动者。
2. 若公司规章制度无明确规定或规定不合理：
   • 如果公司规章制度中没有关于连续请假时间的限制规定，或者规定不合理（如规定连续请假超过1天就辞退等），那么公司以此为由辞退员工则缺乏合法依据，属于违法辞退。员工可以依法维护自己的合法权益，要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。

二、从请假原因及实际情况角度

1. 因合理事由请假：
   • 如果员工连续请假4个月是因为患严重疾病需要治疗、休养等合理事由，并且按照公司规定履行了请假手续（如提供了医院出具的病假证明等），那么公司一般不能随意辞退员工。根据《劳动合同法》第四十二条，劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：（三）患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的具体期限根据员工的工作年限等因素确定。
2. 无正当理由请假或虚假请假：
   • 如果员工无正当理由连续请假4个月，或者提供虚假请假证明，那么公司有权辞退员工，且这种辞退行为是合法的。因为员工的行为违反了公司的劳动纪律和职业道德，也损害了公司的正常生产经营秩序。

三、从辞退程序角度

1. 合法辞退程序：
   • 即使公司有合法辞退员工的理由，也需要按照法定程序进行辞退。根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。如果公司未按照法定程序辞退员工，即使辞退理由合法，也可能构成违法辞退。
2. 违法辞退程序：
   • 如果公司未按照法定程序辞退员工，如未通知工会、未听取员工陈述和申辩等，那么即使辞退理由看似合理，也可能被认定为违法辞退。员工可以依法要求公司支付赔偿金等。

建议：如果您面临连续请假被辞退的情况，建议您先查看公司的规章制度，了解其中关于请假和辞退的相关规定；同时，收集并保存好请假的相关证据（如请假条、医院证明等）；如果公司已经辞退您，且您认为辞退行为不合法，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。如果您有进一步的法律问题，可以直接向我咨询。