在一般情况下，部门员工打架，部门领导并不直接承担连带责任，但特定情况下可能需要承担一定的管理责任或补充责任。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况下的责任划分
员工打架行为的性质：
- 员工打架通常属于个人行为，除非是在执行工作任务过程中因工作原因发生争执并升级为打架，否则一般不视为职务行为。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间的侵权行为，由侵权人承担侵权责任。因此，打架的员工应自行承担因打架行为造成的法律后果。
部门领导的责任：
- 部门领导作为管理者，对员工的行为负有一定的管理职责，但这并不意味着对员工的所有个人行为都要承担连带责任。
- 除非部门领导存在明显的过错，如明知员工之间存在矛盾却未及时调解、未采取有效措施防止打架事件的发生等，否则一般不承担连带责任。
二、特定情况下的责任承担
部门领导存在过错的情况：
- 如果部门领导在员工打架事件中存在过错，如未履行管理职责、未及时制止打架行为等，可能需要根据其过错程度承担相应的管理责任或补充责任。
- 这种责任通常不是连带责任，而是根据部门领导的过错程度，在员工无法承担全部赔偿责任时，由部门领导承担一部分赔偿责任。
打架行为与职务行为有关的情况：
- 如果员工打架是在执行工作任务过程中因工作原因发生的，且部门领导对此存在过错（如未提供必要的工作条件、未合理安排工作任务等），则部门领导可能需要承担一定的责任。
- 但这种情况下，部门领导的责任也通常不是连带责任，而是根据其在职务行为中的过错程度承担相应的责任。
三、法律建议
对于部门领导：
- 应加强对员工的管理和培训，提高员工的法律意识和职业素养，预防打架等侵权行为的发生。
- 一旦发生打架事件，应及时采取措施制止，并调查事件原因，根据实际情况采取相应的处理措施。
- 如果部门领导在事件中存在过错，应主动承担责任，并积极配合相关部门进行调查和处理。
对于员工：
- 应遵守法律法规和公司规章制度，尊重他人权益，避免发生打架等侵权行为。
- 如果因打架行为造成他人损害，应主动承担赔偿责任，并接受相应的法律制裁。
总结来说，部门员工打架，部门领导在一般情况下不直接承担连带责任。但特定情况下，如部门领导存在过错或打架行为与职务行为有关时，可能需要承担一定的管理责任或补充责任。因此，作为部门领导，应加强对员工的管理和培训，预防侵权行为的发生；作为员工，应遵守法律法规和公司规章制度，尊重他人权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。