你父亲的行为确实涉嫌违法，具体涉及家庭暴力和出轨（婚外情）两个方面，但出轨行为本身一般不直接构成犯罪，而家庭暴力则可能触犯法律。以下是对这两个方面的详细分析：

一、出轨（婚外情）的法律定性

1. 道德层面：出轨行为首先违背了婚姻中的忠诚义务，是道德上所谴责的行为。它可能对夫妻关系造成严重破坏，影响家庭和谐。

2. 法律层面：出轨行为本身并不直接构成犯罪。然而，如果出轨行为伴随着其他违法行为，如重婚（即与他人以夫妻名义共同生活），则可能触犯《中华人民共和国刑法》中的重婚罪，面临刑事处罚。但单纯的出轨行为，除非达到重婚的程度，否则一般只涉及民事责任，如离婚时的过错赔偿等。

二、家庭暴力的法律定性及后果

1. 法律定性：你父亲在家打你母亲的行为，明显属于家庭暴力。家庭暴力是指家庭成员之间以殴打、捆绑、残害、限制人身自由以及经常性谩骂、恐吓等方式实施的身体、精神等侵害行为。

2. 法律后果：

   • 行政处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，家庭暴力行为可能面临警告、罚款或拘留等行政处罚。
   • 刑事责任：如果家庭暴力行为情节严重，构成犯罪的，如故意伤害罪、虐待罪等，将依法追究刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。虐待家庭成员，情节恶劣的，处二年以下有期徒刑、拘役或者管制。
   • 民事赔偿：受害者还有权要求施暴者承担民事赔偿责任，包括医疗费、护理费、精神损害赔偿等。

三、建议与措施

1. 保护受害者：首先，要确保你母亲的人身安全，避免她继续受到家庭暴力的侵害。如果情况紧急，可以立即报警或寻求其他救助措施。

2. 收集证据：收集家庭暴力的证据，如照片、视频、医疗记录、报警记录等，这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用。

3. 寻求法律帮助：建议你们尽快咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权途径。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

4. 考虑离婚：如果家庭暴力行为持续存在且无法得到改善，你母亲可以考虑提出离婚。在离婚过程中，她可以要求施暴者承担过错赔偿责任，并争取更多的财产分割和子女抚养权等权益。

作为专注于离婚领域的律师，我深知家庭暴力和出轨行为对受害者造成的身心伤害。如果你或你母亲需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问。