当寻衅滋事罪嫌疑人被刑事拘留超过37天，通常意味着案件已经进入刑事诉讼程序，且检察院已经批准逮捕。此时，犯罪嫌疑人及其家属应积极采取措施，以有效维护自身合法权益。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、已被逮捕的情况及应对措施
情况分析：
在刑事拘留的37天内，公安机关会向检察院提请批准逮捕，检察院会在7天内作出决定。若拘留超过37天，很大概率上检察院已经批准逮捕。逮捕表明犯罪嫌疑人被认定有一定的犯罪嫌疑，且可能被判处徒刑以上刑罚，采取其他措施不足以防止社会危险性。
应对措施：
委托律师介入：
- 犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属应尽快委托律师作为辩护人。律师可到看守所会见犯罪嫌疑人，了解案情，提供法律咨询和帮助，解释相关法律规定，告知诉讼过程中的权利和义务。
申请羁押必要性审查：
- 依据《人民检察院办理羁押必要性审查案件规定（试行）》，辩护律师可根据案情向检察院申请羁押必要性审查。若经审查认为无需继续羁押，检察院会建议办案机关释放或变更强制措施。如犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，或案件证据发生重大变化等，均可能符合变更条件。
准备辩护策略：
- 律师需根据案情收集有利证据，制定辩护策略。如存在正当防卫、证据不足等情形，可进行无罪辩护；若犯罪事实清楚，但存在从轻、减轻处罚情节，如初犯、偶犯、自首、立功等，则进行罪轻辩护。
二、超期羁押的情况及应对措施
情况分析：
若无需逮捕的法定情形而公安机关继续羁押，即构成超期羁押，这是违法行为，严重侵犯犯罪嫌疑人合法权益。
应对措施：
申诉与控告：
- 犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权向公安机关、检察院等提出申诉或控告，要求解除超期羁押。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》，当事人和辩护人等对司法机关超期羁押有权申诉或控告。
申请国家赔偿：
- 若因超期羁押造成人身损害或财产损失，确认超期羁押后，可依据《中华人民共和国国家赔偿法》申请国家赔偿，包括限制人身自由的赔偿金、医疗费、精神损害抚慰金等。
三、取保候审的申请与条件
申请取保候审：
- 根据《刑事诉讼法》，对于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或虽可能判处有期徒刑以上刑罚但取保候审不致发生社会危险性的犯罪嫌疑人、被告人，可以申请取保候审。若羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续侦查，也可对犯罪嫌疑人取保候审或监视居住。
具体条件与操作：
- 取保候审的具体能否实施，需看案件是否满足条件，建议向办案机关提出申请，由办案机关根据案情决定是否同意。聘请专业的刑事辩护律师介入，提供法律帮助和辩护，是更好地维护犯罪嫌疑人或被告人合法权益的重要途径。
四、案件后续程序
逮捕后的羁押与侦查：
- 若被逮捕，犯罪嫌疑人将被羁押在看守所。侦查羁押期限一般不得超过二个月，复杂案件可经上一级人民检察院批准延长一个月。公安机关会继续开展侦查工作，收集和完善证据材料。侦查终结后，若认为犯罪事实清楚、证据确实充分，会写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。
检察院审查起诉与法院审判：
- 人民检察院对移送起诉的案件进行审查，决定是否提起公诉。若决定起诉，将案卷材料、证据移送人民法院。人民法院对案件进行审理，根据事实和法律作出判决。若被告人被判有罪，将判处相应的刑罚。
在整个过程中，犯罪嫌疑人及其家属应充分了解相关法律规定，并积极寻求专业律师的帮助，以应对复杂的法律程序。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。