结论概述：结合新闻背景，肇事司机刹车当油门冲入面馆致两人受伤的行为，可能涉及交通肇事罪或以危险方法危害公共安全罪，具体需根据主观意图和客观行为综合判断。执法处理上，公安机关会先进行刑事立案侦查，收集证据，后续可能移送检察院审查起诉，最终由法院判决。以下从法律定性、执法流程、可能后果及预防建议四个角度详细分析。

1. 法律定性：交通肇事罪还是以危险方法危害公共安全罪？

• 交通肇事罪：若司机因操作失误（如刹车当油门）导致事故，且主观上为过失（非故意），则可能构成交通肇事罪。根据《刑法》第133条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或拘役；情节特别恶劣的，处三年以上七年以下有期徒刑。本案中，若伤者无大碍且财产损失未达重大标准，可能不构成犯罪，但需承担行政处罚（如吊销驾照、罚款）及民事赔偿责任。
• 以危险方法危害公共安全罪：若司机主观上为故意（如因纠纷泄愤冲入面馆），或虽为过失但行为危害公共安全（如冲入人群密集区），则可能构成此罪。根据《刑法》第114条、第115条，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。本案中，若司机行为被认定为危害公共安全，即使伤者无大碍，也可能面临较重刑罚。

新闻背景结合：新闻中未提及司机主观意图，若为操作失误，更可能倾向交通肇事罪；若存在故意或放任危害结果，则可能升级为以危险方法危害公共安全罪。

2. 执法流程：公安机关如何处理？

• 立案侦查：公安机关接到报案后，会立即赶赴现场，开展勘查、调查取证工作，包括询问目击者、调取监控、鉴定车辆痕迹等，以确定事故原因及司机主观意图。
• 刑事拘留或取保候审：若证据充分，可能对司机采取刑事拘留措施；若情节较轻或符合取保候审条件，可取保候审。
• 移送审查起诉：侦查终结后，公安机关会将案件移送检察院审查起诉。检察院会审查证据是否充分、罪名是否成立，并决定是否提起公诉。
• 法院审判：若检察院提起公诉，法院将依法审理，根据事实和法律作出判决。

3. 可能后果：司机需承担哪些责任？

• 刑事责任：若构成犯罪，司机可能面临有期徒刑、拘役或罚金等刑罚。具体刑期需根据犯罪情节、危害后果及主观恶性综合判断。
• 行政责任：若不构成犯罪，司机可能面临吊销驾照、罚款等行政处罚。根据《道路交通安全法》第99条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留。
• 民事责任：司机需赔偿伤者医疗费、误工费、护理费等损失，以及面馆的财产损失。若司机有保险，保险公司将在保险范围内承担赔偿责任。

4. 预防建议：如何避免类似事件？

• 司机层面：驾驶时应保持冷静，避免分心或情绪化驾驶；定期检查车辆状况，确保刹车、油门等部件灵敏可靠；遇到紧急情况时，应冷静应对，避免误操作。
• 面馆等公共场所层面：可安装防撞设施（如防撞柱、隔离带等），减少车辆冲入的风险；加强员工安全培训，提高应急处置能力。
• 社会层面：加强交通安全宣传教育，提高公众安全意识；完善交通法规，加大对危险驾驶行为的处罚力度。

总结：肇事司机冲入面馆的行为，法律定性需结合主观意图和客观行为综合判断，可能涉及交通肇事罪或以危险方法危害公共安全罪。执法流程上，公安机关会依法进行立案侦查、移送审查起诉及法院审判。司机可能面临刑事、行政及民事责任。为避免类似事件，司机、公共场所及社会各界均应采取相应预防措施。如有进一步法律疑问，可直接向我咨询。