结论：在劳动仲裁过程中，如果您和公司已经私下调解好了，从法律程序上来说，您不需要再向仲裁机构申请调解，但建议将调解结果以书面形式固定下来，并考虑是否需要仲裁机构出具调解书或裁决书以增强执行力。

详细分析：

1. 私下调解的法律效力：

   • 私下调解是双方自愿、平等协商的结果，只要调解内容不违反法律法规的强制性规定，不损害国家、集体或第三人的利益，该调解结果即具有法律约束力。
   • 然而，私下调解的结果往往缺乏强制执行力，即如果一方不履行调解协议，另一方不能直接依据调解协议向法院申请强制执行。

2. 仲裁调解与私下调解的区别：

   • 仲裁调解是在仲裁机构的主持下进行的调解，其调解结果可以制作成调解书或裁决书，这些文书具有法律上的强制执行力。
   • 如果一方不履行仲裁调解书或裁决书，另一方可以直接向法院申请强制执行。

3. 建议操作：

   • 书面固定调解结果：为了确保私下调解的结果能够得到有效执行，建议您和公司将调解结果以书面形式固定下来，明确双方的权利和义务。
   • 考虑仲裁机构出具文书：如果您希望调解结果具有更强的执行力，可以考虑向仲裁机构申请出具调解书或裁决书。这通常需要您和公司共同向仲裁机构提出申请，并按照仲裁机构的程序进行。
   • 注意时效性：如果您和公司已经私下调解好，但后续又因某些原因需要仲裁机构介入，请注意仲裁时效的问题。根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

4. 可能的风险与后果：

   • 如果私下调解的结果没有得到有效执行，您可能需要通过法律途径来维护自己的权益，这可能会增加您的维权成本和时间成本。
   • 如果您选择向仲裁机构申请出具调解书或裁决书，但公司不同意或拒绝配合，这可能会影响调解的进程和结果。

特殊情况说明：

• 如果您和公司私下调解的内容涉及违法或损害第三方利益，那么该调解结果将无效，且可能面临法律责任。
• 如果您在私下调解过程中受到胁迫或欺诈，导致调解结果不公平，您有权向仲裁机构或法院申请撤销该调解结果。

总结与建议：

• 在劳动仲裁过程中，如果您和公司已经私下调解好了，从法律程序上来说，您不需要再向仲裁机构申请调解。但为了确保调解结果的有效执行，建议您将调解结果以书面形式固定下来，并考虑是否需要仲裁机构出具调解书或裁决书。
• 如果您在私下调解过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。